2013年上海高考数学文科-含答案

2013年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式021xx的解为．2．在等差数列na中，若123430aaaa，则23aa．3．设mR，2221immm是纯虚数，其中i是虚数单位，则m．4．若2011x，111xy，则xy．5．已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c．若2220aabbc，则角C的大小是（结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．设常数aR．若52axx的二项展开式中7x项的系数为-10，则a．8．方程91331xx的实数解为．9．若1coscossinsin3xyxy，则cos22xy．10．已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上地面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为π6，则1r．11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且π4CBA．若4AB，2BC，则的两个焦点之间的距离为．13．设常数0a，若291axax对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．已知正方形ABCD的边长为1．记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a、2a、3a；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c、2c、3c．若,,,1,2,3ijkl且,ijkl，则ijklaacc的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．函数211fxxx的反函数为1fx，则12f的值是（）（A）3（B）3（C）12（D）1216．设常数aR，集合|10Axxxa，|1Bxxa．若ABR，则a的取值范围为（）（A）,2（B）,2（C）2,（D）2,17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441xnyn围成的区域（含边界）为1,2,nn，当点,xy分别在12,,上时，xy的最大值分别是12,,MM，则limnnM（）A．0B．41C．2D．22三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，正三棱锥OABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图OBAC20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x），每小时可获得的利润是3100(51)xx元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为213100(5)axx；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()fxx，其中常数0．（1）令1，判断函数()()()2Fxfxfx的奇偶性并说明理由；（2）令2，将函数()yfx的图像向左平移6个单位，再往上平移1个单位，得到函数()ygx的图像．对任意的aR，求()ygx在区间[,10]aa上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2||fxx．无穷数列{}na满足1(),*nnafanN．（1）若10a，求2a，3a，4a；（2）若10a，且1a，2a，3a成等比数列，求1a的值；（3）是否存在1a，使得1a，2a，3a，…，na…成等差数列？若存在，求出所有这样的1a；若不存在，说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线1C：2212xy，曲线2C：||||1yx．P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C、2C都有公共点，则称P为“1C2C型点”．（1）在正确证明1C的左焦点是“1C2C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“1C2C型点；（3）求证：圆2212xy内的点都不是“1C2C型点”．参考答案一、选择题1．1(0,)2【解析】)21,0(0)12(xxx2．15【解析】1530)(232324321aaaaaaaa3．2m【解析】20102)1(22222mmmmimmm是纯虚数4．1【解析】111202112yxyxxxx，又已知，联立上式解之得2,1xy5．23【解析】32212-cos0-222222CabcbaCcbaba6．78【解析】7880100607510040平均成绩7．2解：2515()(),2(5)71rrrraTCxrrrx，故15102Caa．8．3x=log4【解析】4log43013331313139311393xxxxxxxx9．79【解析】971)(cos2)(2cos31)cos(sinsincoscos2yxyxyxyxyx10．3【解析】3336tanrllr由题知，11．57解：7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为2427517CC．【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。个个，共有个数中任取个偶数共个奇数和从21273427C.62224个个数分别为奇数，共有个数之积为奇数C752161122724CCP个数之积为偶数的概率所以12．463解：不妨设椭圆的标准方程为22214xyb，于是可算得(1,1)C，得2446,233bc．法二：【解析】如右图所示。)1,1(3,1,145,2,4,CADDBCDCBABCABABCDABD上，且在设38,34,111)11(,422222222cbcbabaCa代入椭圆标准方程得，把6342c13．1[,)5【解析】考查均值不等式的应用。5116929)(,022aaaxaxxaxxfx时由题知，当14．5【解析】根据对称性，的模最大时互为相反向量，且它们与当向量)()(lkjiccaa,,,,))((CBcCAcADaACaccaalkjilkji最小。这时，5|)|))((2jilkjiaaccaa15．A【解析】31)(2,02xxxfx由反函数的定义可知，16．B解：集合A讨论后利用数轴可知，111aa或11aaa，解答选项为B．法二：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，符合题意。,)2),[]1,(),,1[RBAAB综上，选B标准解法如下:)1,(),,1[aARBAaB，时符合题意；当当时，当由),[]1,(11,10))(1(axaaRxaaxx11),1[],(1;2111aaaaxaaa时当解得.2综上，aDBAC17．A【解析】好货则不便宜便宜则不是好货便宜没好货宜”的充分条件所以“好货”是“不便选A18．D【解析】144144lim1144222222yxnyxnnyxn椭圆方程为：0)4(8404224)(14422222222uuuuxxxuxyxuyx联立22,],22,22[80)4(2222的最大值为所以yxuuuu选D19．【解析】331131ABCABCOSVABCO的体积三棱锥中，在，则的中点为中的射影为在面设OQERTQEOQEBCQABCO331,,3234)33(122222OEEQOQOE，333233OEBCSSSABCOABCOBCABCO的表面积三棱锥所以，33,33ABCOABCOSVABCO表面积的体积三棱锥20．解：（1）每小时生产x克产品，获利310051xx，生产a千克该产品用时间为ax，所获利润为2313100511005axaxxxx.（2）生产900千克该产品，所获利润为213900005xx1161900003612x所以6x，最大利润为619000045750012元。21．法一：解：（1）()2sin2sin()2sin2cos22sin()24Fxxxxxx()Fx是非奇函数非偶函数。∵()0,()2244FF，∴()(),()()4444FFFF∴函数()()()2Fxfxfx是既不是奇函数也不是偶函数。（2）2时，()2sin2fxx，()2sin2()12sin(2)163gxxx，其最小正周期T由2sin(2)103x，得1sin(2)32x，∴2(1),36kxkkZ，即(1),2126kkxkZ区间,10aa的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；故当(1),2126kkakZ时，21个，否则20个。法二：【解析】（1）)2sin(2sin2)2()()(,sin2)(1xxxfxfxFxxf时，是奇函数，周期xyTxxxsin22,22),4sin(22cos2sin2是偶函数。，即不是奇函数，也不后得图像左移)4sin(22)(4xxf（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x):Txxfxgxxf最小正周期,1)6(2sin21)6()(,2sin2)(.个零点。个零点，最少在一个周期内最多有令2321)6(2sin0)(xxf所以y=g(x)在区间[a,a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个22．【解析】（1）2,0,20.||2)(432111aaaaaaafannnn由（2）||-2|)|-2(||-2,,12212221223321aaaaaaaaaaaa，且成等比|]-2|2[)-2(|]||-2|2[|)|-2(11211121aaaaaa分情况讨论如何：21-22[)-2(0-2112111211aaaaaaa，且）（时，当24