正方形专题培优1,2

-1-题4图DABCFE正方形专题培优（1）专题一正方形的性质和判定1、填空题：2、如图，用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为_________．3、如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为_________平方厘米．4、如图，以△ABC的各边向同侧做正△ABD、正△BCF、正△ACE⑴求证：四边形AEFD是平行四边形。⑵当△ABC是__________三角形时，四边形AEFD是菱形。⑶当∠BAC=_____度时，四边形AEFD是矩形。⑷当条件满足_____时，四边形AEFD是正方形。⑸当∠BAC=_____度时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在。5、如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．专题二教材习题及其变式1、如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF；变式题1（随州）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．在下列特征中，（1）四条边都相等（2）对角线互相平分（3）对角线相等（4）对角线互相垂直（5）四个角都是直角（6）每一条对角线平分一组对角（7）对边相等且平行（8）邻角互补平行四边形具有的是：矩形具有的是：菱形具有的是：正方形具有的是：-2-变式题2（无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=_________时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）变式题3（乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．（1）点E坐标为（t，0）（t＞0），结论CE=EP是否成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由．变式题4在正方形ABCD中，点E在直线CB上，连接AE，过点E作EF⊥AE，交正方形ABCD外角平分线所在直线于F(1)如图1，当点E在线段BC上时，求BD、CE、CF之间的数量关系(2)如图2，当点E在CB的延长线上时，求BD、CE、CF之间的数量关系；FEDCBA(3)如图3，当点E在BC的延长线上时，求BD、CE、CF之间的数量关系-3-正方形专题培优（2）专题三线段垂直在正方形证明中的作用1、如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；2、已知正方形ABCD．（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．3、如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF＝EF．(2)当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．-4-4、点P是正方形ABCD的边BC上任意一点，过B点作BG⊥AP于G，过C作CE⊥AP于E，连接BE（1）如图1，若P是BC的中点，BC=2，求CE的长PGEDCBA（2）如图2.当点P在BC上运动时（不与B、C重合），求AG-CEBE的值PGEDCBA5、如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BGAP于点G，在AP的延长线上取点E，使AGGE，连接BE，CE.（1）求证：BEBC；（2）CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：2BNDNAN；（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为.