第十七讲 线性方程组的通解

1第六讲线性方程组的通解一、非齐次线性方程组的通解二、齐次线性方程组的通解第三章矩阵的初等变换与线性方程组2对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)或用矩阵方程,方程组(1)表示为:bAx非齐次线性方程组Axb有解的判断与求解步骤：(1)对于非齐次线性方程组把它的增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)则方程组无解一、非齐次线性方程组的通解3(2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形而对于齐次线性方程组则把系数矩阵A化成行最简形(3)设R(A)R(B)r把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数其余nr个未知数取作自由未知数并令自由未知数分别等于c1c2cnr由B的行最简形即可写出含nr个参数的通解4例1.求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等行变换，故方程组无解．5例2求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换6故方程组有解，且有7所以方程组的通解为812312313251352223xxxxxxxx－有解为何值时，线性方程，并求例.组一般解。解：12513152202B125101210482－2时方程组有解。1251051050482－12510121000291251~01210000B101101210000－(c为任意实数）1323112xxxx123112110xxcx所以方程组的通解为10对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax111122121122221122000(2)或用矩阵方程方程组(1)表示为:Ax0齐次线性方程组Ax0有非零解的判断与求解步骤：(1)对于齐次线性方程组把它的系数矩阵A化成行阶梯形从A的行阶梯形可同时看出R(A)若R(A)n,则齐次线性方程组只有零解二、齐次线性方程组的通解11(2)若R(A)n则进一步把A化成行最简形(3)设R(A)r把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数其余nr个未知数取作自由未知数并令自由未知数分别等于c1c2cnr由A的行最简形即可写出含nr个参数的通解12.xxxxxxxxxxxx1234123412342202220430解：341122121221A463046301221施行初等行变换：对系数矩阵A13122rrrr求解齐次线性方程组例4.130000342101221)3(223rrr212rr00003421035201即得与原方程组同解的方程组,0342,0352432431xxxxxx46304630122114,,,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值xx由此即得,342,352432431xxxxxx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx.1034350122214321ccxxxx15小结:1.齐次线形方程组的通解的求法.2.非齐次线形方程组的通解的求法.