什么是数学模型

SUN数学建模与数学实验MathematicalModelingandMathematicalExperiment数学建模与数学实验教程课件主讲人：孙云龙第一讲什么是数学模型课程介绍名称：数学模型、数学实验性质：全校选修课参考教材：姜启源，数学模型，高等教育出版社叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（一、二、三、四），湖南教育出版社Matlab教程数学数学的实质：服务性学科强有力的工具与现实的紧密联系David:被人如此称颂的高技术本质上就是数学——数学技术Mathematic一方面：数学以及数学的应用在世界的科学、技术、商业和日常生活中所起的作用越来越大另一方面：一般公众甚至科学界（特别是我国）对数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的及其重要性也未被认识到。h.g.grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能。”数学教育Education诺贝尔经济学奖的启示自1969年诺贝尔经济学奖设立以来，获奖者大多数具有深厚的数学功底。娴熟的数学技巧加上出众的思想，是他们摘获诺奖桂冠的超凡之道他们中的大多数人的大学本科专业都是数学、物理等理科背景，有些干脆就是数学家转而研究经济学的。数学被广泛应用于经济学研究，这也许是经济学被视为科学并设有经济学诺贝尔奖的原因之一吧。诺贝尔经济学奖屡颁数学家刚刚公布的2003年诺贝尔经济学奖，就是表彰美国经济学家罗伯特·恩格尔和英国经济学家克莱夫·格兰杰分别用“随着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。--—邹恒甫（武汉大学高级研究中心主任、北京大学光华管理学院一级教授、北京大学董辅经济学讲座教授）数学模型据统计：近几年全世界所发表的科技论文中，使用频率最高的关键词即为——数学模型运用数学方法去解决实际问题，即要用数学的语言、方法去近似地刻划实际问题的过程就是数学建模。而这种数学表述就是一个数学模型。MathematicModeling数学建模的流程实际问题分析建立数学模型求解数学模型解释数学解在实际中印证提出报告或结论NoYes实例一：椅子放稳模型假设：1四条腿一样长、连线呈正方形、与地面接触在一点上2地面高度连续变化3至少三条腿同时着地中心问题：用数学语言将椅腿着地的条件与结论表示出来：距离令：f(θ)表示AC两脚与地面距离之和g(θ)表示BD两脚与地面距离之和θABCDA’模型求解由假设得：1f(θ)与g(θ)为连续函数2f(θ)与g(θ)应至少有一个为0当θ=0时，不妨设g(θ)=0，于是问题变为：存在θ0点，使f(θ0)=g(θ0)=0θABCDA’模型求解设：h(θ)=f(θ)-g(θ)则：θ=0时h(0)=f(0)0θ=π/2时？h(π/2)=-g(π/2)0由介值定理，存在θ0使得h(θ0)=0即f(θ0)=g(θ0)又f(θ)与g(θ)应至少有一个为0则：f(θ0)=g(θ0)=0θABCDA’即：椅子一定能够放平实例二:商人过河三商三从一起过河河中一船一船容二商人掌权从多杀人过河方案?建立模型引进数学工具：向量记第k次渡河前此岸，商人数xk，随从数yk状态容许状态集合决策（每次过河方案）容许决策集状态变化律求决策使sk=(xk，yk)S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=1,y=1;x=2,y=2}dk=(uk,vk)D={(u,v)|u+v=1,2}sk+1=sk+(-1)kdkd1,d2,……,dn,s1(3,3)sn+1(0,0)此岸彼岸Sn(0,0)渡回随从S1(3,3)商人答案Sn(0,0)随从S1(3,3)商人Sn(0,0)随从S1(3,3)商人d1d2d3d4d5d6d7d9d8d10d11文字叙述：略实例三：人口模型问题提出：人口预测例如：1998年末：12.5亿，自然增长率：9.53%预测2000年末：12.5×（1+0.00953)2≈12.7当时人口钟为：1271322005设基年人口数为x0，k年后为xk，年增长率为r则人口增长模型为xk=x0(1+r)k模型一：指数增长模型基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或说单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。设t时刻人口数为x(t)，t=0时人口增长率为r，则取△t→0，有x’(t)=rx(t),即解为x(t)=x0ert离散化er≈1+r(r1)则有x(t)≈x0(1+r)tMalthus（1766-1834）人口模型rttxtx)()(0)0()()('xxtrxtx指数增长模型模型解为x(t)=x0ert0)0()()('xxtrxtx模型二：阻滞增长模型模型假设：增长率ｒ是人口x(t)的线性函数r(x)=r-sx，（s、r0）设最大人口容量（自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量）为xmr(xm)=0有模型为解得Logistic模型rtmmmmexxxtxxxxxxrtxxxrtr)1(1)()0()1()(')1()(00阻滞增长模型模型解为Logistic模型0)0()1()('xxxxxrtxmrtmmexxxtx)1(1)(0图示阻滞指数阻滞指数著名的数学模型自然数欧几里德的几何学微积分F=ma经济模型………………建模方法和步骤运用数学方法去解决实际问题，即要用数学的语言、方法去近似地刻划实际问题的过程就是数学建模。而这种数学表述就是一个数学模型。建模流程图问题分析明确问题例：某公司应雇用多少推销员条件及数据例：洗衣机节水（９７B）建模问题应用题差别条件、数据结论恰好明确、唯一数学模型中假设的内容关于是否包含某些因素的假设关于条件相对强弱及各因素影响相对大小的假设关于变量间关系的假设关于模型适用范围的假设根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。建立数学模型方法机理分析法测试分析法现实对象内部机理黑箱规律数据模型明确的物理或现实意义统计分析拟合等经济、社会股市技术分析×公式例：逢山开道（９４A）建立数学模型特点逼真性和可行性强健性非预制性技艺性分类应用领域：人口模型、交通模型······数学方法：几何模型、代数模型······表现特征：静态模型、线性模型、离散模型······建模目的：描述、分析、预报、优化、决策、控制······了解程度：白箱、黑箱、灰箱渐进性可转移性条理性局限性模型求解数学方法多简化、近似例：ex≈1+x线性化课题、猜想计算机例：天气预报其他模型分析模型检验模型应用论文写作问题模型检验应用求解假设改进全国大学生数学建模竞赛1986年美国大学生数学建模竞赛1992年开始由中国工业与应用数学学会举办1994年起由教育部高教司与中国工业与应用数学学会共同举办参赛队年均增长率20%参赛方式参赛队员赛题时间地点规则赛题92A施肥效果分析93A非线性交调的频率设计94A逢山开路95A一个飞行管理问题96A最优捕鱼策略97A零件的参数设计98A投资的收益和风险99A自动化车床管理00ADNA序列分类C飞越北极01A血管的三维重建02A车灯线光源的优化设计C车灯线光源的计算B实验数据分解B足球队排名次B锁具装箱B天车与冶炼炉的作业调度B节水洗衣机B截断切割B灾情巡视路线B钻井布局C煤矸石堆积B钢管订购和运输D空洞探测B公交车调度C基金使用计划B彩票中的数学D赛程安排2003年A题SARS的传播B题露天矿生产的车辆安排C题SARS的传播D题抢渡长江竞赛理念：创新意识团队精神重在参与公平竞争一次参赛，终身受益！再见SUN