1.6三角函数模型的简单应用

1.6三角函数模型的简单应用曹县三中高一数学组：胡效尊函数模型的应用示例•1、物理情景——•①简谐振动•②星体的环绕运动•2、地理情景——•①气温变化规律•②月圆与月缺•3、心理、生理现象——•①情绪的波动•②智力变化状况•③体力变化状况•4、日常生活现象——•①涨潮与退潮•②股票变化•…………)0,0()sin(AxAy•正弦型函数xysin23sin2xy个单位长度向上平移32O223145bAysin51=22A5132b解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.例1如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数(1)求这一天6~14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.sin()yAxb(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是函数的半个周期的图象，sin()yAxb1301010,26,10.xy3将代入上式，解得＝4A所以，b13010202146.8OCT/ht/61014812102030,20)438sin(10xy.14,6x综上，所求解析式为221一般取：||的最小值反思感悟：由图像确定函数的解析式主要从以下几个方面考虑：（1）、A与b的确定：maxmin12Afxfxminmax)()(21xfxfb（2）、的确定：2T求得（3）、的确定：也可以利用函数上的其他点来求．代定法：把图像上的最低点或最高点带入函数解析式即可得。（若没有范围时，取最小时的值）||变式训练：1、如图所示为函数的部分图象．求出函数的解析式)2(,)sin(bxAyyx123-1321211综上，所求解析式为1)62sin(2xy代入得T22)1(3A62解：由图可知1)34sin()(62zkk12)1(3b将)(23234zkk41233212114T2T2,1y23x五点法：求以寻找第一点(,)b作为突破口，具体如下：第一点即图象上升时与x轴的交点，为ωx＋φ＝0第二点即图象的“峰点”，为ωx＋φ＝π2第三点即图象下降时与x轴的交点，为ωx＋φ＝π第四点即图象的“谷点”，为ωx＋φ＝3π2第五点为ωx＋φ＝2πxy2O33-1A1、32．若函数sin()yAx的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是（）1B、312C、612D、6C3、已知函数sin()yAx0,||A且的一段图象如下图所示，则函数的解析式为（）2083823A2sin(2)4yx、3B2sin()4yx、C2sin(2)4yx、3D2sin(2)4yx、Axyo222211例2画出函数xysin的图像并观察其周期.我们也可以这样进行验证：由于xxxsinsinsin所以，函数xysin是以为周期的函数.反思感悟：画整个函数带有绝对值的图像时：方法：对称变换．1.先画出不含绝对值函数的图像；2.若x轴下方有图像时，则把下面的图像以x轴为轴翻折上去。x轴上面的图像不动。变式训练：画出xytan的图像并观察其周期.解：函数图像如图所示：从图中可以看出函数xytan是以为周期的函数.222323五：课后练习：1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+1(A0,ω0)的定义域为R且最大值为2，则A=-2.已知函数y=2sinωx(ω0)的图像与y=-2的相邻的两个公共点之间的距离为4，则ω=123、函数的图象如图所示，求函数解析式。sin()yAxby710130x39153sinx106y24．如图所示函数f(x)＝sinx＋2|sinx|y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．x∈[0,2π]的图象与直线1k3例2如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是＝90º－|－|.当地夏半年取正值，冬半年取负值.太阳光太阳光90||地心北半球南半球太阳高度角的定义如图，设地球表面某地纬度值为，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是。当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。90||o太阳光9090||90||o地心太阳光直射南半球分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知ABCH如果在北京地区（纬度数约为北纬40º）的一幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于多少？解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有∠C=90º-|40º-(-23º26')|=26º34'所以，'2.000tantan2634HHMCHC即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意建立三角函数模型求解还原解答海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.轮船搁浅例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）。xyO3691215182124246根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间的关系。hxAy)sin(解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图。xyO3691215182124246从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，056sin5.2xy，得6,122T由时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0hxAy)sin(xyO3691215182124246时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，056sin5.2xy，得6,122T由xyO3691215182124246从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，056sin5.2xy，得6,122T由时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？xyO36912151821242465.5y24（2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5（米），所以当y≥5.5时就可以进港.令化简得2.5sin55.56xsin0.26x由计算器计算可得0.2014,0.201466xx或解得0.3848,5.6152ABxx因为，所以由函数周期性易得[0,24]x120.384812.3848,125.615217.6152.CDxx因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右。解：解：设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域?小结:三角函数模型解决实际问题的一般步聚:搜集数据作出相应的散点图进行函数拟合得出函数模型利用函数模型解决实际问题实际问题数学问题数学结论实际问题结论转化建模应用反思与升华