第1章 优化设计的基本概念(已排)

1优化设计与有限元分析王学林机械设计与汽车工程系Email:[e-mail]:875439722绪论1.现代设计方法现代设计是传统设计的深入、丰富和完善。现代设计是以市场需求为驱动，以现代设计思想、理论为指导，以现代技术手段为工具，考虑产品的全生命周期和人、机、环境相容性等因素的设计。借助计算机，应用精度较高的分析方法（如有限元方法等）进行分析计算，从大量的可行设计中寻找最优的设计方案，实现用理论代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计、绿色设计代替一般的安全寿命的可行性设计。其目的是为了提高设计的主动性、科学性和准确性。32.现代设计的特点传统方法现代方法经验的、类比的逻辑的、推理的、系统的静态的、少参数动态的，多变量、多方案现代设计方法具有系统性、创造性、综合性和程式性。3.本课程的内容优化设计、有限元分析介绍数学规划理论和有限元法的基本概念和基本方法，通过实例介绍用优化理论解决机械优化设计、用有限元法分析工程结构的过程。4设计理论是对产品设计原理和机理的科学总结。设计方法是使产品满足要求以及判断产品是否满足设计原则的依据。现代设计方法是基于设计理论形成的，因而更具科学性和逻辑性。现代设计方法融合了信息技术、计算机技术知识工程和管理科学等领域的知识。但现代设计方法还不能完全取代传统设计方法，一些行之有效的经验方法目前仍在广泛使用，它们仍是现代设计方法的重要组成。把优化设计方法与计算机辅助设计结合起来，使设计过程自动化，已成为设计方法的一个重要发展趋势。53.学习参考书（1）陈屹、谢华：《现代设计方法及其应用》（2）孙靖民：《现代机械设计方法》（3）周济：《机械设计优化方法及应用》（4）孙靖民：《机械优化设计》（5）DarylL.Logan著，伍义生、吴永礼译：《有限元方法基础教程》（6）王勖成、邵敏：《有限单元法基本原理与数值方法》6第1章优化设计的基本概念自古以来的多数工程设计，都经过了某种程度的“优化”过程1.传统的设计过程：设计（综合）评价（分析）选用（决策）满意方案2.“评价——再设计”的过程：(a)经验和知识；(b)试验；(c)优胜劣汰7优化设计是一种现代设计方法3.优化设计的教学任务基础：（1）最优化数学理论（2）现代计算技术任务：运用计算机自动确定设计的最优方案。内容：(1)将工程实际问题数学化；（优化设计数学模型）(2)用最优化计算方法在计算机上求解数学模型。8优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。机械优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。机械优化设计是应用数学方法寻求机械设计的最优方案，所以需要应用机械工程的专业知识确定设计的限制条件追求的目标。1.1优化设计概述9已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b），齿数（z1）。（3）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。例1-1：直齿圆柱齿轮副的优化设计101[,,]Tmzbx2211min[()()]4Wbmzmiz111222314151()[]0()[]0()[]0()1.20()170FFFFHHggggbmzgzxxxxx例1-1问题的数学表达设计变量：设计目标：约束条件：11优化设计任务：确定Di、li和a，保证轴端变形和固有频率在允许限内，并使结构的质量最轻例1-2机床主轴结构的优化设计12[]yy220minmaxminmaxminmax1minmax(1,2,,)iiiiiiDDDinlllaaalNNa22(,)[()]iifDLDdlii求：Di、li和a使min满足：轴端变形和固有频率限制条件，尺寸限制条件。即：131）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型步骤141.2优化设计问题的数学模型优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。1.设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。1512[,,,]Tnxxxx设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。设计变量可以是一些结构尺寸参数，也可以是一些化学成分的含量或电路参数等。由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示.设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。16x1x2x=[x1,x2]Tox1x2x=[x1,x2,x3]T(a)(b)x3设计变量有连续变量和离散变量之分。只能在给定数列或集合中取值的变量称为离散变量，含离散变量的优化问题称离散规划问题。二维和三维设计空间17设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。根据约束的性质可以把它们区分成性能约束和侧面约束两大类。针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求.只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作侧面约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于侧面约束。侧面约束也称作边界约束。2.约束条件18()0hx()0gx约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型。(1)等式约束(2)不等式约束可行域:凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围。约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等）。复杂结构的性能约束函数（变形、应力、固有频率等）需要通过有限元等方法计算求得。19使设计得以优化的函数称作目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数，记作f(x)。建立目标函数是整个优化设计过程中比较重要的问题。对某一个性能有特定的要求，而这个要求又很难满足时，则针对这一性能进行优化将会取得满意的效果。但在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标，这是多目标函数的问题。例如，设计一台机器，期望得到最低的造价和最少的维修费用。3.目标函数20()fcx目标函数等值面目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面，其数学表达式为：（c为一系列常数），代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，f(x1,x2)=c代表x-x设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。21x﹡g1(x)＝0g2(x)＝0g3(x)＝0可行域与等值线2212[,,,]Tnxxxx()minfx()0(1,2,,)khklx()0(1,2,,)jgjmxmin(),..()01,2,,()01,2,,njkfRstgjmhklxxxx4.优化设计问题一般数学形式：求设计变量向量使满足约束条件：231.3优化问题的几何描述Ox1x2Ox1x2a)极值点处于多角形的某一顶点上b)极值点处于等值线的中心c)极值点处于约束曲线与等值线的切点上d)极值点处于两个约束曲线的交点上x﹡g1(x)＝0g2(x)＝0g3(x)＝0x﹡g2(x)＝0g3(x)＝0g4(x)＝0g1(x)＝0g2(x)＝0Ox1x2Ox1x2x﹡g2(x)＝0x﹡g1(x)＝0g1(x)＝02422121112221231min()44s.t.()20()10()0fxxxgxxgxxgxxxxx优化问题图解法通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。例1-3用图解法求解2522121112221231min()44s.t.()20()10()0fxxxgxxgxxgxxxxx*(2,0)x，*()0fx01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=[0.58,1.34]Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：约束方程所围成的可行域是D.26x101234-11x*=[0.58,1.34]Tx2g1(x)=0g2(x)=0g3(x)=0f(x)=3.8D22121112221231min()44s.t.()20()10()0fxxxgxxgxxgxxxxx例1-3图解法27k+1kkx=x+Δx1kkkkxxd1.4优化设计问题的基本解法1.基本解法求解优化问题的基本解法有：(a)解析法；（b）数值解法工程优化问题的目标函数和约束条件比较复杂，有时还无法用数学方程描述。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。数值迭代法的基本思路是进行反复的数值计算，寻求函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的近似解。28寻求极值点的搜索过程沿某个搜索方向dk以适当的步长αk实现对xk的修正。x(0)d(0)x(1)x(k+1)d(1)d(3)x(k+1)x(2)d(k)291()()kkffxx*limkkxx1kkkkxxd收敛：迭代法要解决的问题：（1）选择搜索方向（2）确定步长因子（3）给定收敛准则运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：3011kkxx1221()nkkiiixx13()()kkffxx14()()()kkkfffxxx1()1kfx1()1kfx2.迭代终止准则(1)点距准则或(2)函数值下降量准则时时315()kfx2510~10(1,,5)ii上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。（3）目标函数梯度准则采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取