2.2二次函数性质与应用

2.2二次函数性质与应用赵阳考纲要求•（1）求二次函数的解析式；•（2）掌握二次函数的图象和性质——单调性、对称轴、顶点等；•（3）二次函数的定义域和值域。定义：函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.特别地，当b=c=0时，则二次函数变为y=ax2(a≠0).它的图象是顶点为原点的抛物线，a0时，开口向上；a0时，开口向下.这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。二次函数中三个系数02acbxaxycba,,的作用？轴的交点位置决定抛物线与决定对称轴位置；；决定抛物线的开口方向yabaa,知识的梳理及训练一、二次函数解析式（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：bx=-2ay=ax2+bx+c(a≠0)对称轴：顶点坐标：（1）一般式：2b4ac-b(-,)2a4a开口方向：a0,开口向上；a0,开口向下。（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)对称轴：顶点坐标：X=h(h,k)（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)对称轴：顶点坐标：与x轴两个交点为A(x1,0)、B(x2,0)12x+xx=2,())2f1212x+xx+x(2二、二次函数图象和性质y=ax2+bx+ca0a0图象性质定义域x∈Rx∈R值域[，+∞）24ac-b4a（-∞，]24ac-b4a对称性关于直线对称bx=-2a单调性X∈___是单调___X∈___是单调___X∈___是单调___X∈___是单调___奇偶性b=0f(x)为偶函数xy0则正确的是：A.a0,b0,c0,b２4ac1.抛物线y=ax２+bx+c如图所示，B.a0,b0,c0,b２4acC.a0,b0,c0,b２4acD.a0,b0,c0,b２4ac练习2.已知二次函数y=x２+bx+c且f(-1)=f(3)，则正确的是Af(1)cf(-1)Bcf(1)f(-1)Ccf(-1)f(1)Df(1)cf(-1)分析：f(0)=c对称轴为x=1f(x)在(-∞,1]上单调递减-101f(-1)f(0)f(1)练习三、二次函数在区间上的最值例2.已知二次函数y=-x２+2x+3（1）当x∈R,求f(x)的值域；（2）当x∈[-1，0],求f(x)的值域；（3）当x∈[0，3],求f(x)的值域；（4）当x∈[a，a+2],求f(x)的最大值；解答解答解答解答（1）当x∈R,求f(x)的值域•解:对称轴x=1∵a0∴抛物线开口向下∴f(x)max=f(1)=4∴f(x)的值域为(-∞,4]Back（2）当x∈[-1，0],求f(x)的值域解:∵f(x)在(-∞,1]上单调递增∴f(x)在[-1,0]上单调递增∴f(x)min=f(-1)=0f(x)max=f(0)=3∴f(x)的值域为[0,3]Back（3）当x∈[0，3],求f(x)的值域；解:对称轴x=1,而1∈[0,3]∴f(x)max=f(1)=4∵f(0)=3f(3)=0∴f(x)的值域为[0,4]Back（4）当x∈[a，a+2],求f(x)的最大值；•解:①当a≤1≤a+2,即-1≤a≤1时f(x)max=f(1)=4•②当a+21,即a-1时∵f(x)在(-∞,1]是单调递增∴f(x)max=f(a+2)=-a2-2a+3•③当a1时∵f(x)在[1,+∞)是单调递减∴f(x)max=f(a)=-a2+2a+3求二次函数在闭区间上最值的方法：（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；（1）检查x0=是否属于[m，n]；ab2（3）当x0[m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.•一看开口方向；•二看对称轴与区间相对位置。•若区间端点或解析式含有字母参数，应进行分类讨论,按对称轴与区间（或区间的中点）的位置分类。求二次函数在区间上最值的方法：小结•3、二次函数在给定区间上最值•思想方法：配方法、数形结合思想1、二次函数解析式2、二次函数图象和性质