高数导数与微分

第三章导数与微分000000000(),(),()();,(),(),(),yfxxxxxxxyyfxxfxyxxyfxxyfxxfx设函数在点的某个邻域内有定义当自变量在处取得增量点仍在该邻域内时相应地函数取得增量如果与之比当时的极限存在则称函数在点处可导并称这个极限为函数在点处的导数记为1、定义：一、导数的概念机动目录上页下页返回结束.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式：.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx000(),xxxxxxdydfxydxdx，或即机动目录上页下页返回结束,().().()(),,.xIfxfxdydfxfxydxdx对于任一都对应着的一个确定的导数值这个函数叫做原来函数的导函数记作或0()()()limxfxxfxfxx即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或注意:000()()().xxfxfxfx2、导函数机动目录上页下页返回结束2）右导数:1）左导数:0000()()()lim;xxfxfxfxxx－0000()()()lim;xxfxfxfxxx3）函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在并且相等.3、单侧导数机动目录上页下页返回结束222011111()(sin)cos(tan)sec(sec)sectan()ln(log)ln(arcsin)(arctan)xxaCxxxxxxxaaaxxaxxxx122211111()(cos)sin(cot)csc(csc)csccot()(ln||)(arccos)(cot)xxxxxxxxxxxeexxxxarcxx4、基本导数公式机动目录上页下页返回结束5、按定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1、()().fxCC求函数为常数的导数解：hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即机动目录上页下页返回结束例2、0().fxxx讨论函数在处的可导性解：xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1000()(),().fffxxx所以函数在点不可导练习1、讨论000sin,,().,xxfxxxx在处的可导性机动目录上页下页返回结束例3、121000()()()(),().fxxxxxf设求解:0)0()(lim)0(0xfxffx)100()2)(1(lim0xxxx!100练习2、设12()().fxxf,用导数的定义求22211222()()()limlimxxfxfxfxx解:211211limxx机动目录上页下页返回结束6、导数的几何意义oxy)(xfyT0xM000000()()(,()),()tan,()()(,())fxyfxMxfxfxyfxMxfx表示曲线在点处切线的斜率即为倾角，因此在点处的切线方程为法线方程为000()()().yfxfxxx0001()().()yfxxxfx机动目录上页下页返回结束例4、1122(,).yx求在点处的切线方程和法线方程解：由导数的几何意义,知所求切线斜率为12xy21)1(xx2121xx.4故所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即机动目录上页下页返回结束7、可导与连续的关系:可导必连续，但连续不一定可导.机动目录上页下页返回结束200,(),,xxfxxx例如0x在处连续但不可导，因为20000000000000100lim()lim;()lim()lim;()()()()lim,limxxxxxxfxxffxxfxffxfxx连续不可导例5、10000sin,(),,.xxfxxxx讨论函数在处的连续性与可导性解：00100lim()limsin()xxfxxfx0().fxx在处连续00010001sin()()limlimlimsinxxxxfxfxxxx又因为极限不存在0().fxx在处不可导机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束201060,,,()(),.axexabfxbxxxx确定，使得在连续、且可导例00200002000111000100110110()lim()lim()()limlim(),()()(),()limlim,()()lim,.xxaxxxaxxxxfxxfxfxfebxxbfxxffeaxfaxxbxxfax为使在连续，则，即解得；为使在可导，则又所以解：21311,,,(),.xxabfxaxbxx确定，使得在连续习、且可导练21,.ab答案：机动目录上页下页返回结束0()()(())lim,xfxxfxfxx二阶导数:记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或0()()()(())lim,xfxxfxfxfxx三阶导数:1()(),()(),,.nnnnnnnndydfxfxydxdx阶导数:阶导数的导数记作或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)二、高阶导数1、定义机动目录上页下页返回结束,uvn设函数和具有阶导数则)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu2、高阶导数的运算法则:机动目录上页下页返回结束例1、520sin,().yxxyy设求和解:410cos,yxx340sin,yxx2120cos,yxx01()y设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）20()uuvuvvvv.(1)函数的和、差、积、商的求导法则三、求导法则[()()]()();uxvxuxvx()().()()uxuxvxvx机动目录上页下页返回结束例1、3(),()().xfxxefxf设求和解：111()()xxxfxexexe机动目录上页下页返回结束1112()()xxxfxexexe33()fe练习1、ln()ln,()().xfxxxfxfex设求和(),()[()]()()().yfuuxyfxdydyduyxfuxdxdudx设的复合函数，则或例如，(2)复合函数的求导法则机动目录上页下页返回结束.sinln的导数求函数xy解：ln,sinyuuxdxdududydxdyxucos1xxsincosxcot例2、练习2、210()sin(),()().xfxfxf设求和解:21212122()cos()()cos()lnxxxxfx机动目录上页下页返回结束.)1(102的导数求函数xy解：)1()1(10292xxdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx02()lnf(3)隐函数求导法则0(,)(),.Fxyyyxxdyyxdx设确定了隐函数则方程两端同时对求导，求导时视为的函数，即可求出机动目录上页下页返回结束例3、00().xyxxyeedydyyyxdxdx求由方程所确定的隐函数的导数和解：x方程两端同时对求导得0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy00,xy又由原方程知时000yxyxxexyedxdy.1机动目录上页下页返回结束练习3、11cos()().xyyxydydyyyxdxdx求由方程确定的隐函数的导数和解：x方程两端同时对求导得1sin()dydyxydxdx机动目录上页下页返回结束解得1sin(),sin()dyxydxxy111101sin()sin()xxyydyxydxxy(),()xtyxyt若参数方程确定与间的函数关系();()dydytdtdxdxtdt则(4)参变量函数的求导法则22()dyddydxdxdx()()()dtdttdxdt机动目录上页下页返回结束例4、解：2222().ttxedyyfxdxyte设由参数方程确定，求dtdxdtdydxdy2322224(),ttttetee22()()dydydddtdydxdxdxdxdxdt3442431012()ttttetee机动目录上页下页返回结束练习4、解：22cos()sin.xtyfxybtdydx设由参数方程确定，求dydydtdxdxdtcoscot,sinbtbtt22()()dydydddtdydxdxdxdxdxdt23csccscsinbtbtt机动目录上页下页返回结束观察函数32114sin().()xxxxyyxxe和求导方法——对数求导法：所属类型:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导法求出导数.(5)对数求导法机动目录上页下页返回结束例5、解：3211112141314()()()xxxyxexxx等式两边同时取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(lnx等式两边同时对求导得142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设机动目录上页下页返回结束例6、解：.),0(sinyxxyx求设等式两边同时取对数得xxylnsinlnx等式两边同时对求导得xxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx机动目录上页下页返回结束练习题：机动目录上页下页返回结束231213141()log,().ln(ln),.()()().xaaafxaxaxfxyxyyfxxyyxfxfxx、设求、设求、设由方程确定，求、设，求1、问题的提出:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0四、微分机动目录上页下页返回结束000000000(),,()()()(),(),(),(),.xxxxyfxxxxyfxxfxAxoxAxyfxxAxyfxxxd