第四章 第4讲 万有引力与航天

第4讲万有引力与航天[考试标准]知识内容必考要求加试要求说明行星的运动a1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节．2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题．3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法．4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力．5.不要求分析重力随纬度变化的原因.太阳与行星间的引力a万有引力定律c万有引力理论的成就c宇宙航行c经典力学的局限性a一、开普勒行星运动三定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．自测1关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是()A．所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动B．所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动C．对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率D．所有行星轨道的半长轴的二次方与公转周期的三次方的比值都相同答案C解析根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；行星绕太阳运动的轨道半径越大，则运动的速率越小，故B错误；根据开普勒第二定律对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率，故C正确；根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，故D错误．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．2．表达式：F＝Gm1m2r2.3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭称装置测得的，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.自测2关于万有引力公式F＝Gm1m2r2，以下说法中正确的是()A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的答案C解析万有引力定律公式适用于任何两个质点之间的万有引力计算，当两物体间的距离趋近于0时，物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，A、B均错误；万有引力为两物体间的相互作用力，符合牛顿第三定律，C正确；引力常量G的值是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置测出的，D错误．三、万有引力理论的成就1．预言未知星体2．计算天体质量四、宇宙航行1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2km/s.3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7km/s.自测3我国将在2018年前后完成约18颗北斗导航卫星的发射，该卫星发射速度v大小的范围是()A．v＜7.9km/sB．7.9km/s＜v＜11.2km/sC．11.2km/s＜v＜16.7km/sD．v＞16.7km/s答案B命题点一万有引力定律的理解和应用1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即GMmr2＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2rT2.(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的估算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于GMmR2＝mg，故天体质量M＝gR2G，天体的平均密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.①由万有引力等于向心力，即GMmr2＝m4π2T2r，得出中心天体质量M＝4π2r3GT2；②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.例1如图1所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是()图1A．M＝4π2R＋h3Gt2，ρ＝3πR＋h3Gt2R3B．M＝4π2R＋h2Gt2，ρ＝3πR＋h2Gt2R3C．M＝4π2t2R＋h3Gn2，ρ＝3πt2R＋h3Gn2R3D．M＝4π2n2R＋h3Gt2，ρ＝3πn2R＋h3Gt2R3答案D解析设“卡西尼”号的质量为m，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，GMmR＋h2＝m(R＋h)2πT2，其中T＝tn，解得M＝4π2n2R＋h3Gt2.又土星体积V＝43πR3，所以ρ＝MV＝3πn2R＋h3Gt2R3.故D正确．变式1(2017·绍兴一中高一期末)物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步，下列说法中正确的是()A．开普勒通过对行星观测记录的研究发现了万有引力定律B．伽利略指出物体的运动需要力来维持C．牛顿测出了引力常量G的数值D．海王星是运用万有引力定律在“笔尖”上发现的行星答案D解析牛顿发现了万有引力定律，A错误；伽利略认为力是改变物体运动的原因而不是维持物体运动的原因，B错误；卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量G，C错误．变式2(2017·温州市高一期末)质量均为1×105kg的两物体(都可看成质点)相距1m时，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，它们之间的万有引力大小最接近于()A．一个大人的重力B．一个鸡蛋的重力C．一个大西瓜的重力D．一头牛的重力答案B变式3(2017·绍兴市一中高一期末)某个行星，其半径是地球半径的2倍，质量是地球质量的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的()A．6倍B．4倍C.254倍D．12倍答案C解析设地球的质量为M，半径为R，质量为m的物体在地球表面运动时，地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，则有GMmR2＝mg地，解得g地＝GMR2，同理g行＝GM行R2行，则该行星表面重力加速度与地球表面重力加速度之比为：g行g地＝G·25M2R2GMR2＝254，故A、B、D错误，C正确．变式4通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是()A．卫星的速度和质量B．卫星的质量和轨道半径C．卫星的质量和角速度D．卫星的运行周期和轨道半径答案D解析根据线速度和角速度可以求出半径r＝vω，根据万有引力提供向心力：GMmr2＝mv2r，整理可以得到M＝v2rG＝v3Gω，故选项A、B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则GMmr2＝m2πT2r，整理得到M＝4π2r3GT2，故选项D正确．变式5(2017·浙江11月选考·7)如图2所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图，则卫星()图2A．在a轨道运行的周期为24hB．在b轨道运行的速度始终不变C．在c轨道运行的速度大小始终不变D．在c轨道运行时受到的地球引力大小是变化的答案D解析同步卫星必须在赤道正上空36000km处，所以a轨道不可能是同步轨道，选项A错误；b轨道上的卫星的速度方向不断变化，所以速度不断变化，选项B错误；地球在c轨道的其中一个焦点上，因此在近地点时卫星速度要快，远地点速度要慢，选项C错误；在c轨道上，卫星离地球的距离不断变化，所以根据F＝GMmr2可以看出卫星受地球的引力大小不断变化，D正确．变式6有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)()A.14B．4倍C．16倍D．64倍答案D解析天体表面的重力加速度g＝GMR2，又知ρ＝MV＝3M4πR3，所以M＝9g316π2ρ2G3，故M星M地＝(g星g地)3＝64.命题点二宇宙航行和卫星问题1．第一宇宙速度的推导方法一：由GMmR2＝mv21R得v1＝GMR＝7.9×103m/s.方法二：由mg＝mv21R得v1＝gR＝7.9×103m/s.2．第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．3．a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，故对同一中心天体来说，卫星所有参量的比较，最终归结到轨道半径的比较．r越大，a、v、ω越小，T越大．4．利用万有引力定律解决卫星运动的技巧(1)一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．(2)两组公式GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝mamg＝GMmR2(g为天体表面处的重力加速度)例2(2017·浙江4月选考·11)如图3所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n倍，质量为火星的k倍．不考虑行星自转的影响，则()图3A．金星表面的重力加速度是火星的kn倍B．金星的“第一宇宙速度”是火星的kn倍C．金星绕太阳运动的加速度比火星小D．金星绕太阳运动的周期比火星大答案B解析根据g＝GMR2可知g金g火＝kn2，选项A错误；根据v＝GMR可知，v金v火＝kn，选项B正确；根据a＝GM太阳r2可知，距离太阳越远，加速度越小，由T＝4π2r3GM太阳可知，距离太阳越远，周期越大，由题图可知r金＜r火，所以选项C、D均错误．变式7(2016·浙江4月学考·11)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102km的预定轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．已知地球半径R＝6.4×103km.下列说法正确的是()A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小C．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小D．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小答案C解析地球同步卫星距地心的距离大于“悟空”卫星距地心的距离，由GMmr2＝mv2r可得，v＝GMr，由此可知，“悟空”卫星的线速度大，所以A错误；由GMmr2＝mω2r可知，“悟空”卫星的角速度大，即周期小，由GMmr2＝man可知，“悟空”卫星的向心加速度大，因此C正确，B、D错误．变式8(2015·浙江10月学考·7)在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C，某时刻恰好在同一过地心的直线上，如图4所示，当卫星B经过一个周期时()图4A．A超前于B，C落后于BB．A超前于B，C超前于BC．A、C都落后于BD．各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上答案A解析由GMmr2＝mr4π2T2可得T＝2πr3GM，故轨道半径越大，周期越大．当B经过一个周期时，A已经完成了一个多周期，而C还没有完成一个周期，所以选项A正确，B、C、D错误．变式9(2017·嘉兴市高一期末)2016年12月28日11时23分，我国首颗中学生科普卫星在太原卫星发射中心发射升空．这颗被命名为“八一·少年行”的小卫星计划在轨运行时间不少于180天，入轨后可执行对地拍摄、无线电通讯、对地传输文件以及快速离轨试验等任务．若因实验需要，将卫星由距地面高280km的圆轨道Ⅰ调整进入距地面高330km的圆轨道Ⅱ，则此小卫星()A．在轨道Ⅰ上运行的速度可能大于7.9km/sB．在轨道Ⅱ上比在轨道Ⅰ上运行的周期小C．在轨道Ⅱ上运行的周期比同步卫星的周期小D．在轨道Ⅱ上比在轨道Ⅰ上运行的向心加速度大答案C变式10天文学家近期在银河系发现一颗全新的星球——“超级地球”．它的半径是地球的2.3倍，而质量却是地球的17倍，科学家们认为这颗星球可能是由岩石组成．