大一高数知识点

第八章空间解析几何第一节空间向量及其线性运算x横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.一、空间点的直角坐标Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点xyzo1MPNQR2M?21MMd在直角21NMM及直角PNM1中，使用勾股定理知,222212NMPNPMd二、空间两点间的距离,121xxPM,12yyPN,122zzNM22221NMPNPMd.21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd.222zyxxyzo1MPNQR2M结论：设),,(111zyxA和),,(222zyxB为两已知点，点M为线段AB上的一个点，且MBAM，则M(x,y,z)的坐标分别为：ABMxyzo,121xxx,121yyy.121zzzM为有向线段AB的定比分点.M为中点时，,221xxx,221yyy.221zzz向量：既有大小又有方向的量.向量表示：以1M为起点，2M为终点的有向线段.1M2Ma21MM模长为1的向量.21MM00a零向量：模长为0的向量.0||a21MM||向量的模：向量的大小.单位向量：三、向量的概念或或或自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.a向径：abaa空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量.OMMbaba//,即平行于向量向量的共线、共面的夹角，垂直与向量ba空间两向量的夹角的概念：,0a,0bab向量a与向量b的夹角),(ba),(ab0()四、向量的线性运算[1]加法：符合平行四边形法则，也称为三角形法则[2]减法[3]数乘设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aa数乘符合下列运算规律：（1）结合律：)()(aaa)(（2）分配律：aaa)(baba)(.,//,0zzyyxxabababababa即使，存在唯一的实数则向量设向量定理两个向量的平行关系空间一向量在轴上的投影uAABB已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为BA,那么轴u上的有向线段BA的值，称为向量在轴u上的投影.ABjuPr向量AB在轴u上的投影记为五、向量的坐标xyzo1MPNQR2M以kji,,分别表示沿zyx,,轴正向的单位向量.ijkkajaiaazyx向量在轴上的投影x向量在轴上的投影y向量在轴上的投影z12xxax12yyay12zzazkzzjyyixxMM)()()(12121221kzzjyyixxMM)()()(12121221按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：,,,kajaiazyx向量的坐标：,,,zyxaaa向量的坐标表达式：},,{zyxaaaa},,{12121221zzyyxxMM特殊地：},,{zyxOM非零向量的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.、、,0,0.0xyzo1M2M六、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo1M2M由图分析可知cos||aaxcos||aaycos||aaz向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.222||zyxaaaaPQR向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM0222zyxaaa当时，,cos222zyxxaaaa,cos222zyxyaaaa.cos222zyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222方向余弦的特征0a||aa}.cos,cos,{cos特殊地：单位向量的方向余弦为例1求平行于向量)2,2,1(a的单位向量.例2)1,5,3(a,)3,2,2(b,)3,1,4(c,求(1)向量;cbam(2)m在y轴上的投影及在z轴上的分向量.