5-3.4相似矩阵

相似矩阵的定义相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化第三节相似矩阵称为对A进行相似变换BAPP1设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似其中可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。对A进行运算APP1一、相似矩阵的概念定义BA~记作kkBABA~,~)4(则)A()(~)(BA则（1）自反性A~A（其中k是正整数）（5）若A~B，（2）对称性若A~B，则B~A（3）传递性若A~B，B~C，则A~C相似是关于A的多项式二、相似矩阵的性质,1PPBA若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110Ak的多项式AEaAaAaAaAnnnn1110)(.)(1PBP.1PBPk则PEaBaBaBaPnnnn11110)(PPB1PPB1PPB1PPB1k个特别地，若有可逆矩阵P,使APP1)(000)(000)()(21n则为对角矩阵，即,n00000021则11PPAPPAkk)()(,，而对于矩阵有,21knkkk利用上述结论可以很方便计算矩阵A的多项式)(A(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;;,~)7(BABA则有若)1(1BAPP因为而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积,(1)式左端就相当于对A施行一系列的初等行变换和列变换,因而秩不变.BABPAPBAPPBAPP111(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则。11~BA,7BA）有由性质（，或不为同时为与从而00BA或都可逆或都不可逆。与所以BABAPPA1可逆，则有若111)(BAPP1111111)(BPAPPAP11~BA。的特征值为对角阵nn,,11相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证，使由条件知存在可逆阵BPAPP1,11EBPEPPAP1()PEAP1PEAPEA相似，与对角阵若nA1这表明A与B有相同特征值;;ABEAEB与相似都与相似设A与B相似，推论定理61,,nA则为的特征值。kAAPPPA并求验证,,5111,2004,151311PPA11)(PPPPAkkk1115611Pkkk)2(004kAkkkkkkkk)2(54)2(545)2(4)2(4561问题：相似？角阵满足什么条件时能与对A)1(怎样求？及相似变换阵相似时与对角阵PA,)2(即如何将方阵A对角化例1PAPnnppp121),,,(?相似与对角阵AAPPPn1,使阶可逆阵存在一个，设),,,(npppP21APP1),,,(21nApApAp),,,(nnppp2211是否为特征向量？iP三、矩阵的相似对角化的条件,iiipAp),,2,1(ni,,,是特征值n1是特征向量。npp,,1,,,为非零向量npp1P的列向量是与A相似的对角阵中相应对角元素的特征向量ipin1线性相关性？A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量O?反之？,),,,(nnpppP121，设线性无关若nppp,,,21.,,,21nppp),,,(21nApApApAPnnppp121),,,(),,,(nnppp2211P关键是P可逆吗？对应的特征向量为的特征值是反之设,,,,An21可逆P相似与AA能否与对角阵相似取决于A能否有n个线性无关的特征向量且相似变换阵P),,,(21nppp1PPA定理7n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量.为P的列向量推论(P.155)若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似。反之不真若A有重特征值,不能马上断言A是否与对角阵相似,只要k重特征值正好对应k个线性无关的特征向量即可这时要看重根对应的特征向量.例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？242422221)1(A201335212)2(A解(1)EA由2270122224242.7,2321得四、对角化的方法12120,EAX将代入得方程组12312312322024402440xxxxxxxxx解之得基础解系.110,10221337,0,EAx对由求得基础解系2,2,13T,0211210102由于.,,321线性无关所以.,3化可对角因而个线性无关的特征向量有即AA,同理212533102EA31201335212)2(A1231.A所以的特征值为10,EAx把代入解之得基础解系,)1,1,1(T故不能相似为对角矩阵.A对应的特征向量分别为例2112121(,),115PppPAP设2阶矩阵A的特征值为1,−5,,1,2,1,1TT与特征值求A.151PPA1243112151112131解例3已知xA10100002与10000002yB相似,求x,y..2),1(202yAyx,2A解因为相似矩阵有相同的特征值,而故x=0,y=1.特征值2,y,-1.根据特征值的性质,有故A、B有相同的例4220131(1)(6),405EAxx20131405Ax若可相似对角化，求1236,1.得解16得相应于特征值的线性无关的特征向量为一个，231A故可对角化的充要条件是相应于特征值401635401EAx由,的线性无关的特征向量为两个151~02043,000rxx()1REA则，10130404EAx由3.x得,3.xA因此时可相似对角化101~003000rx一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质Tnaa),,(1性质1实对称矩阵的特征值都是实数.,的特征值阶实对称矩阵是设An)(xAxxAxTT另一方面0,0121niiniiiTxxxxxxxAxx即是其对应的特征向量,xAxA0)(xxT证§5.4实对称矩阵的相似矩阵,TAAAxxAx)()(xAxxAxTTT)(两式相减：.xxAT)(xxT)(xxTxxxxTT021ppT须证实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。证),(,21222111pAppAp设TTTAppp)()(1111121211AppppTT0)(2121ppT021ppT正交。与21pp性质2TAA,11ApApTTT212221)(ppppTT一般地,能保证矩阵相异特征值所对应的特征向量线性无关但不能保证它们是正交的实对称矩阵A一定与对角矩阵相似‬定理8特征值λ的重数k≥λ对应的线性无关的特征向量的个数n–R(λE-A)个n阶实对称矩阵A的k重特征值λ所对应的线性无关的特征向量恰有k个。R(λE-A)=n－k使得故存在可逆阵且秩为阵是实对称又或的特征值为可得由,,,,012PrAAAA解.,0001阶单位阵是其中rEEAPPrr)2det()2det(11PPPPAE从而)2det(EEErnr200det.2rn.2det,,2的值试求行列式的秩为且满足阶实对称矩阵设AErAAAAn例定理9实对称阵A一定与对角阵正交相似.APPAPPPT1,正交阵即，其中),,,(21ndiag的特征值为An,,,21证,,,,21sA的互异特征值为设,,,,21srrr其重数分别为nrrrs21则量，个线性无关的实特征向有nrrrAs21将它们正交规范化后所构成的矩阵记为P，APPAPPPT1,且为正交阵则，其中),,,(21ndiag的特征值为An,,,21二、实对称矩阵的相似对角化;,,,)(21mAi的所有相异的特征值求出为对角阵。此时即为所求的正交方阵。则方阵阶排成一个向量作为列向量将上面求得的正交单位APPPAPPPnivT1,,)(iikiiiiikkii,,,,)(21征向量个线性无关的特求出对应的重特征值对每一个.),,,2,1(1nkmimii1212(),,,,,,iiiiiiikiiikiiikppp用施密特正交化方法将每一个重特征值所对应的个线性无关的特征向量正交化为规范);,,2,1(mi);,,2,1(mi三者的互求及PA,用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：.,,3101300041为对角阵使求正交阵设APPPA400031013EA－)86)(4(2解.4,2321;)110(211Tq，，的特征向量为例12(4)(2).21210)110(11TTpq），，（单位化，得：，，将为的线性无关的特征向量属于232TTqq)1,1,0(,)0,0,1(32.,,,33322232qqpqqpqq即取故只需单位化正交与?,1为对角阵使求可逆阵APPP2102121021010)(321pppP4421APP,21不正交与若qq.,,3232ppqq为先正交化再单位化后取应将)(321qqqP例2111111111A利用正交矩阵将对称矩阵对角化。解：A的特征多项式为111111111AE23故A的特征值为1233,0定义设n阶方阵A,B,如果存在可逆矩阵P，使得则称A与B合同（或相合）PAPB合同也是矩阵之间的一种关系，它满足反身性，对称性和传递性由Th9及正交矩阵的性质知，实对称矩阵必与对角矩阵合同.可以证明，对角矩阵必与形如的对角矩阵合同.推论任一实对称矩阵必与对角矩阵合同(其中1与-1的个数分别是A的特征值个数与负特征值的个数)0diag1,,1,-1,,-1,0,,00§5二次型及其标准形122ycyxbxa,cossin,sincosyxyyxx令旋转变换122ynxm二次齐次多项式二次曲线可逆线性变换对于n元的二次齐次多项式，能否存在一个