随机变量及其分布列.版块三.离散型随机变量的期望与方差1.学生版

11．重离散型随机量及其分列离散型随机变如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变X来表示，并且X是随着试验的结果的同而变化的，们把这样的变X做一个随机变．随机变常用大写字母,,XYL表示．如果随机变X的所有可能的取值都能一一列举出来，则X为离散型随机变．离散型随机变的分布列将离散型随机变X所有可能的取值ix该取值对应的概率ip(1,2,,)in=L列表表示X1x2x…ix…nxP1p2p…ip…np们这个表为离散型随机变X的概率分布，或为离散型随机变X的分布列．2．几类典型的随机分重两点分布如果随机变X的分布列为X10Ppq其中01p，1qp=−，则离散型随机变X服参数为p的点分布．点分布举例某次抽查活动中，一件产品合格记为1，合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足点分布．X10P0.80.2两点分布又01−分布，于有两个可能结果的随机试验做伯努利试验，所以这种分布又为伯努利分布．超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，所有物品中任取n件()nN≤，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变，它取值为m时的概率为CC()CmnmMNMnNPXm−−==(0ml≤≤，l为n和M中较小的一个)．们离散型随机变X的这种形式的概率分布为超几何分布，也X服参数为N，M，n的超几何分布．在超几何分布中，要知道N，M和n，就可以根据公式求出X知识内容数学期望2取同值时的概率()PXm=，而列出X的分布列．二项分布1．独立重复试验如果次试验，考虑有两个可能的结果A及A，并且件A发生的概率相同．在相同的条件，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那一般就它们为n次独立重复试验．n次独立重复试验中，件A恰好发生k次的概率为()C(1)kknknnPkpp−=−(0,1,2,,)kn=L．2．项分布若将件A发生的次数设为X，件A发生的概率为1qp=−，那在n次独立重复试验中，件A恰好发生k次的概率是()CkknknPXkpq−==，其中0,1,2,,kn=L．于是得到X的分布列X01…k…nP00Cnnpq111Cnnpq−…Ckknknpq−…0Cnnnpq于表中的第行恰好是项展开式001110()CCCCnnnkknknnnnnnqppqpqpqpq−−+=++++LL各对应项的值，所以这样的散型随机变X服参数为n，p的项分布，记作~(,)XBnp．项分布的均值方差若离散型随机变X服参数为n和p的项分布，则()EXnp=，()Dxnpq=(1)qp=−．正态分布1．概率密度曲线样本数据的频率分布直方图，在样本容越来越大时，直方图面的折线所接近的曲线．在随机变中，如果把样本中的任一数据看作随机变X，则这条曲线为X的概率密度曲线．曲线位于横轴的方，它横轴一起所围的面是1，而随机变X落在指定的两个数ab，之间的概率就是对应的曲边梯形的面．2．正态分布定如果随机现象是一些互相独立的偶然因素所引起的，而且一个偶然因素在总体的变化中都是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变的概率分布近似服正态分布．服正态分布的随机变做正态随机变，简正态变．正态变概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πxfxeµσσ−−=⋅，x∈R，其中µ，σ是参数，且0σ，µ−∞+∞．式中的参数µ和σ分别为正态变的数学期望和标准差．期望为µ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)Nµσ．正态变的概率密度函数的图象做正态曲线．标准正态分布们把数学期望为0，标准差为1的正态分布做标准正态分布．重要结论正态变在区间(,)µσµσ−+，(2,2)µσµσ−+，(3,3)µσµσ−+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．正态变在()−∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)µσµσ−+，之外的取值的概率x=µOyx3是0.3%，故正态变的取值几乎都在距xµ=倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()Nξµσ，，()fx为其概率密度函数，则()()()xFxPxftdtξ−∞==∫≤为概率分布函数，特别的，2~(01)Nξµσ−，，221()2txxedtφ−−∞=∫π为标准正态分布函数．()()xPxµξφσ−=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．重3．离散型随机量的期望方差重1．离散型随机变的数学期望定一般地，设一个离散型随机变X所有可能的取的值是1x，2x，…，nx，这些值对应的概率是1p，2p，…，np，则1122()nnExxpxpxp=+++L，做这个离散型随机变X的均值或数学期望简期望．离散型随机变的数学期望刻画了这个离散型随机变的平均取值水平．2．离散型随机变的方差一般地，设一个离散型随机变X所有可能取的值是1x，2x，…，nx，这些值对应的概率是1p，2p，…，np，则2221122()(())(())(())nnDXxExpxExpxExp=−+−++−L做这个离散型随机变X的方差．离散型随机变的方差反映了离散随机变的取值相对于期望的平均波动的大小离散程度．()DX的算术平方根()Dx做离散型随机变X的标准差，它也是一个衡离散型随机变波动大小的．3．X为随机变，ab，为常数，则2()()()()EaXbaEXbDaXbaDX+=++=，4．典型分布的期望方差点分布在一次点分布试验中，离散型随机变X的期望取值为p，在n次点分布试验中，离散型随机变X的期望取值为np．项分布若离散型随机变X服参数为n和p的项分布，则()EXnp=，()Dxnpq=(1)qp=−．超几何分布若离散型随机变X服参数为NMn，，的超几何分布，则()nMEXN=，2()()()(1)nNnNMMDXNN−−=−．重4．的独立性重如果件A是否发生对件B发生的概率没有影响，即(|)()PBAPB=，这时，们两个件A，B相互独立，并把这两个件做相互独立件．如果件1A，2A，…，nA相互独立，那这n个件都发生的概率，等于个件发生的概率的，即1212()()()()nnPAAAPAPAPA=×××IILIL，并且式中任意多个件iA换其对立件后等式立．5．条概率重对于任何两个件A和B，在已知件A发生的条件，件B发生的概率做条件概4率，用符号“(|)PBA”来表示．把件AB的交或，记做DAB=I或DAB=．例1投掷1枚骰子的点数ξ，则ξ的数学期望A．3B．3.5C．4D．4.5例2时抛掷4枚均匀硬80次，设4枚硬好2枚面向，2枚反面向的次数ξ，则ξ的数学期望是A．20B．25C．30D．40例3从123456，，，，，6个数中任个，则数之的数学期望．重例4一射手对靶射，直到第一次命中，每次命中率0.6，共4子弹，命中尚余子弹数目ξ的期望重重重A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4重例5一个篮球动员投篮一次得3分的概率a，得2分的概率b，得分的概率ca、b、()01c∈，，知他投篮一次得分的数学期望2计其它得分情况，则ab的最大值A．148B．124C．112D．16例6一家保险公在投保的50万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每15个理赔，若每一保单每的营成本及利润的期望值200元，试求每一保单的保费．例7乙人独立解一道数学的概率依次1212()PPPP，，知该被或乙解的概率0.8，乙人时解该的概率0.3，求12PP，典例分析5解该的人数X的分列及EX．例8、乙、人参了一家公的招聘面试，面试合格者式签约，表示只要面试合格就签约．乙、则约定人面试都合格就一签约，否则人都签约．设每人面试合格的概率都是12，面试是否合格互影响．求签约人数ξ的数学期望．例9批发场对种商品的周销售量单位吨进行统计，最100周的统计结果如表示周销售量234频数205030据面统计结果，求周销售量分别2吨，3吨和4吨的频率知每吨该商品的销售利润2千元，ξ表示该种商品周销售利润的和单位千元．若述频率作概率，各周的销售量相互独立，求ξ的分列和数学期望．例10项考试按目A、目B依次进行，只当目A成绩合格时，才继续参目B的考试．知每个目只允许一次补考机会，个目成绩均合格方获得证书．人参项考试，目A每次考试成绩合格的概率均23，6目B每次考试成绩合格的概率均12．假设各次考试成绩合格否均互影响．在项考试过程中，假设他放的考试机会，记他参考试的次数ξ，求ξ的数学期望Eξ．例11学如图示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外数记0的概率0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．知圆形靶中个圆心圆，半分别30cm、20cm、10cm，飞镖落在区域的数如图中标示．设位学投掷一次一次得到的数个随机量X，求X的分列及数学期望．1098例12商场经销商品，据往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分列ξ12345P0.40.20.20.10.17商场经销一该商品，采用1期付款，其利润200元分2期或3期付款，其利润250元分4期或5期付款，其利润300元．η表示经销一该商品的利润．求A“购买该商品的3位顾客中，至少1位采用1期付款”的概率()PA求η的分列及期望Eη．例13学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，知会唱歌的2人，会跳舞的5人，从中选2人．设ξ选的人中既会唱歌又会跳舞的人数，7(0)10Pξ=．求文娱队的人数写ξ的概率分列并计算期望．例14一接中心A、B、C、D四部热线电话．知一时刻电话A、B线的概率0.5，电话C、D线的概率0.4，各部电话是否线相互之间没影响．假设该时刻X部电话线，试求随机量X的概率分和它的期望．8例15城、乙、3个旅游景点，一位客人游览个景点的概率分别是0.40.50.6，，，客人是否游览哪个景点互影响，设X表示客人离开该城时游览的景点数没游览的景点数之差的绝对值．求X的分及数学期望．例16项选拔共考，每设一个问，能确回答问者进入一考，否则即被淘汰．知选手能确回答第一、、的问的概率分别45、35、25，各问能否确回答互影响．求该选手被淘汰的概率该选手在选拔中回答问的个数记ξ，求随机量ξ的分列数学期望．注本小结果用分数表示例17在次测试中，、乙、人能达标的概率分别0.4，0.5，0.8，在测试过程中，、乙、能否达标彼间影响．求、乙、人均达标的概率求、乙、人中至少一人达标的概率设X表示测试结束达标人数没达标人数之差的绝对值，求X的概率分及9数学期望EX．例18在1，2，3，…，99个自然数中，任3个数．求3个数中1个是偶数的概率设ξ3个数中数相邻的数例如若的数1，2，3，则相邻的数1，2和2，3，时ξ的值是2．求随机量ξ的分列及其数学期望Eξ．例19、乙、人参了一家公的招聘面试，面试合格者式签约，表示只要面试合格就签约．乙、则约定人面试都合格就一签约，否则人都签约．设面试合格的概率12，乙、面试合格的概率都是13，面试是否合格互影响．求至少1人面试合格的概率签约人数X的分列和数学期望．例20公“咨询热线”电话共8路外线，经长期统计发，在8点到10点段时间内，外线电话时打入情况如表示电话时打入个数ξ012345678概率P0.130.350.270.140.080.020.010010若段时间内，公只安排了2位接线员一个接线员一次只能接一个电话．①求至少一种电话能一次接通的概率②在一周五个工作中，如果至少个工作的段时间8点至10点内至少一路电话能一次接通，那么公的形象将到损害，用该的概率表示公形象的“损害度”，求述情况公形象的“损害度”．求一周五个工作的段时间8点至10点内，电话时打入数ξ的期望．例21先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处班，若该地各路段发生堵车都是独立的，在一路段发生堵车最多只一次，发生堵车的概率，如图．重例如ACD→→算作个路段路段AC发生堵车的概率110，路段CD发生堵车的概率115．记路线ACFB→→→中遇到堵车次数随机量X，求X的数学期望()EX．重320112115110FEDCBA例22口袋装大小相的4个红球和8个白球，、乙人依规则从袋中放回摸球，每次摸一个球，规则如若一方摸一个红球，则