第二章 随机过程基本概念

随机过程的定义随机过程的分类随机过程的概率分布随机过程的数字特征随机过程的特征函数复随机过程3随机过程的基本概念7106543218910X1i……7106543218910X2i……7106543218910Xmi……例1贝努里序列。掷一枚硬币，记出现正面为1，出现反面为0。每一次掷的结果是一个随机变量，第i次结果的随机变量记为Xi，由概率论知，其概率分布为1{0}{1}2iiPXPX如果无限多次的抛一枚硬币，各次的结果随着抛的次数（时间）是随机变化的，即表示每次试验结果的随机变量是随次数变化的，所有这些结果就形成了一个随机过程，可用一族随机变量{Xi}表示。3.1随机过程的定义例2电话问题。当t(t≥0)固定时，电话交换站在[0，t]时间内接到的呼唤次数是个随机变量，它可以取非负整数值0，1，2，…。如果t从0变到∞，t时刻前接收到的呼唤次数就需要用一族随机变量表示，是一个随机过程。做一次试验，可得到一条表示t时刻前接收到的呼唤次数的非降阶梯曲线（样本函数）。各次试验所得的曲线是随机的。所有这些样本函数组成一随机过程。0x1(t)t0x2(t)t0xn(t)t3.1随机过程的定义定义1设(Ω,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。X(t,ω)（t∊T,ω∊Ω)是定义在T和Ω上的二元函数。若对于任意固定的t∊T，X(t,ω)是(Ω,ℱ,P)上的随机变量，则称随机变量族{X(t,ω),t∊T,ω∊Ω}是(Ω,ℱ,P)上的随机过程。t称为参数，T称为参数集。把随机过程X(t,ω)在t时刻的取值称为该随机过程在t时刻所处的状态；一个随机过程所有状态构成的集合称为状态空间（或值域），记为。{:(,),,}ExXtxtT3.1随机过程的定义定义2设(Ω,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。X(t,ω)（t∊T,ω∊Ω)是定义在T和Ω上的二元函数。若对于任意固定的ω∊Ω，总有一个t的函数X(t,ω)（t∊T）与之对应,对于所有的ω∊Ω，就得到一族确知的t的函数，则称这一族t的函数的集合{X(t,ω),t∊T,ω∊Ω}是(Ω,ℱ,P)上的随机过程。其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个实现。3.1随机过程的定义随机过程X(t,ω)（t∊T,ω∊Ω)在不同情况下的含义：（1）当t和ω都是变量时，是一个时间函数族，或依赖与t的随机变量族；（2）当t是变量、ω固定时，是一个确定的时间函数（样本函数）；（3）当t固定、ω是变量时，是一个随机变量；（4）当t和ω固定时，是一个确定的值。为简便起见，书写时常省略随机因素ω，将随机过程X(t,ω)（t∊T,ω∊Ω)简记为X(t)（t∊T）。3.1随机过程的定义随机变量随机试验结果→实数随机过程：随机变量→实数随机试验结果→时间函数函数、随机变量、随机过程有何不同？函数：实数→实数3.1随机过程的定义例：随机相位正弦波，其中a,为常数，是在（0,2)内服从均匀分布的随机变量。对于每一个固定的t=ti,是一个随机变量；若在（0,2)内随机地取一个数=i，就有，表示一个样本函数；若t和均给定时，取t=ti,=i，有，是一个实数。()cos()Xtat()cos()iiXtat()cos()iixtat()cos()iiiixtat3.1随机过程的定义1、按参数集和状态空间是连续还是离散取值分类：（1）若参数T是可数有限集，即T={tk,k=0,1,2,…,n}，称为有限随机变量序列；若参数T是可数无限集，即T={tk,k=0,1,2,…}或T={tk,k=…,0,1,2,…}，称为无限随机变量序列；统称离散时间随机过程，简称随机序列。若参数T是不可数有限集，即T={t,a≤t≤b}或T={t,t≥t0},或者若参数T是不可数无限集，即T={-∞t+∞},或T={0≤t+∞}；称为连续时间随机过程。（2）若随机过程X(t)在任意时刻的状态X(ti)是离散型的，称为离散型随机过程；若X(ti)是连续型的，称为连续型随机过程。3.2随机过程的分类按参数集和状态空间是连续还是离散可分为四类：（3）参数连续、状态离散的随机过程。如计数过程；电话呼叫次数，T=[0，∞),E={0,1,2,3,…}。（4）参数连续、状态连续的随机过程。如，热噪声电压，T=[0，∞),E=[-∞，+∞]。（1）参数离散、状态离散的随机过程，或离散随机序列。如，伯努利过程；例1，T={1,2,3,…},E={0,1}。（2）参数离散、状态连续的随机过程，或（连续）随机序列。如，数字信号；每隔一定时间对随机噪声进行采样，T={…,-2△t,-1△t,0,1△t,2△t,…},E=[-∞，+∞]。3.2随机过程的分类2、按随机过程概率分布规律可分为：独立过程、独立增量过程、高斯过程、泊松过程、维纳过程、马尔可夫过程、瑞利过程、平稳过程，等等。3、按随机过程统计平稳特性可分为：严平稳过程、宽平稳过程、周期平稳过程、非严平稳过程，等。4、按随机过程的遍历特性可分为：遍历过程、非遍历过程。5、按随机过程的功率谱特性可分为：宽带过程、窄带过程，等。3.2随机过程的分类概率分布函数（概率分布函数和密度函数）数字特征函数与随机变量之区别?随机过程的统计描述1、一维分布函数设{X(t),t∊T}是一随机过程，对于任意一固定的t∊T，X(t)是个随机变量，其分布函数称为随机过程{X(t),t∊T}的一维分布函数。(,){()}FxtPXtx(,)(,)xFxtfxtdx(,)(,)Fxtfxtx如果存在或称f(x,t)为随机过程{X(t),t∊T}的一维概率密度函数。3.3随机过程的概率分布（概率分布函数和密度函数）2、二维分布函数设{X(t),t∊T}是一随机过程，对于任意二个固定的t1,t2∊T，[X(t1),X(t2)]是一个二维随机变量，其联合分布函数称为随机过程{X(t),t∊T}的二维分布函数。如果存在或称f(x1,x2,t1,t2)为随机过程{X(t),t∊T}的二维概率密度函数。12121122(,;,){(),()}FxxttPXtxXtx1212121212(,;,)(,;,)xxFxxttfxxttdx21212121212(,;,)(,;,)Fxxttfxxttxx3.3随机过程的概率分布2、二维分布函数显然，一维概率分布可以看成是二维概率分布的边缘分布，有下列关系：1112122(;)(,;,)fxtfxxttdx2212121(;)(,;,)fxtfxxttdx11112(;)(,;,)FxtFxtt22212(;)(,;,)FxtFxtt一维分布与二维分布的关系3.3随机过程的概率分布3、n维分布函数设{X(t),t∊T}是一随机过程，对于任意n个时刻的t1,t2,…，tn∊T，[X(t1),X(t2),…,X(tn)]组成n维随机变量，其联合分布函数称为随机过程{X(t),t∊T}的n维分布函数。如果存在12121122(,,,;,,,){(),(),,()}nnnnFxxxtttPXtxXtxXtx121212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)nnnxxxnnnFxxxtttfxxxtttdxdxdx3.3随机过程的概率分布1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)nnnnnnfxxxtttFxxxtttxxx3、n维分布函数或称f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)为随机过程{X(t),t∊T}的n维概率密度函数。3.3随机过程的概率分布4、有限维分布函数族随机过程{X(t),t∊T}的一维分布函数、二维分布函数、…、n维分布函数等的全体称为随机过程{X(t),t∊T}的有限维分布函数族。同样地，概率密度的全体称为随机过程{X(t),t∊T}的有限维概率密度族。它们描绘了随机过程的概率分布。121212{(,,,;,,,),,,,,1}nnnFxxxttttttTn121212{(,,,;,,,),,,,,1}nnnfxxxttttttTn3.3随机过程的概率分布5、n+m维联合分布函数设{X(t),t∊T}和{Y(t),t∊T}是二个随机过程，称{[X(t),Y(t)]T,t∊T}为二维随机过程。对于任意的ti∊T,tj'∊T，i=1,2,…,n,j=1,2,…,m,把n+m维随机变量[X(t1),X(t2),…,X(tn),Y(t1'),Y(t2'),…,Y(tn')]的联合分布函数称为二维随机过程{[X(t),Y(t)]T,t∊T}的n+m维联合分布函数。'''12121212''1111(,,,;,,,;,,,;,,,){(),,();(),,()}XYnmnmnnmnFxxxyyyttttttPXtxXtxYtyYty3.3随机过程的概率分布5、n+m维联合分布函数若存在或称fXY(x1,…,xn;y1,…,ym;t1,…,tn;t'1,…,t'm)为随机过程{X(t),t∊T}和{Y(t),t∊T}的n+m维联合概率密度。11''1111''111111(,,;,,;,,;,,)(,,;,,;,,;,,)nmXYnmnmxxyyXYnmnmnmFxxyyttttfxxyyttttdxdxdydy''1111''111111(,,;,,;,,;,,)(,,;,,;,,;,,)XYnmnmnmXYnmnmnmfxxyyttttFxxyyttttxxyy3.3随机过程的概率分布6、分布函数的性质（1）对称性。对于（1,2,…,n)的任意一种排列（j1,j2,…,jn)，有事实上，12121212(,,,;,,,)(,,,;,,,)nnnnjjjjjjFxxxtttFxxxttt11221122{(),(),,()}{(),(),,()}nnnnjjjjjjPXtxXtxXtxPXtxXtxXtx3.3随机过程的概率分布6、分布函数的性质（2）相容性。对于任意整数mn,有12121212(,,,;,,,)(,,,,,,;,,,)mmmnFxxxtttFxxxttt121212121(,,,;,,,)(,,,,,;,,,)mmmnnmnfxxxtttfxxxxtttdxdx3.3随机过程的概率分布6、分布函数的性质（3）存在性定理（Kolmogorov)。若分布函数族满足对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),t∊T}，使得恰好是{X(t),t∊T}的有限维分布函数族，即111{(,,;,,),,,,1}nnnFxxttttTn111{(,,;,,),,,,1}nnnFxxttttTn12121122(,,,;,,,){(),(),,()}nnnnFxxxtttPXtxXtxXtx3.3随机过程的概率分布6、分布函数的性质（4）独立性（充要条件）。对于随机过程{X(t),t∊T}，若X(t1)、X(t2)、…、X(tn)统计独立，则有12121122(,,,;,,,)(;)(;)(;)nnnnFxxxtttFxtFxtFxt12121122(,,,;,,,)(;)(;)(;)nnnnfxxxtttfxtfxtfxt3.3随机过程的概率分布6、分布函数的性质（4）独立性（充要条件）。如果随机过程{X(t),t∊T}和{Y(t),t∊T}相互独立，则有''1111''1111(,,;,,;,,;,,)(,,;,,)(,,;,,)XYnmnmXnnYmmFxxyyttttFxxttFyytt''1111''1111(,,;,,;,,;,,)(,,;,,)(,,;,,)XYnmnmXnnYmmfxxyyttttfxxttfyytt3.3随机过程的概率分布例1：贝努里随机序列{X(n),n=1,2,…}.在t=n时刻，事件发生，X(n)=1；