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第二十六章二次函数26.1.1二次函数的意义讨论与思考:1、正方形的六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,他们的具体关系是可以表示为什么?2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系?3、某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?y=6x2d=n(n-3)12d=n2-n1232即y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20xy=6x2d=n2-n1232y=20x2+40x+20自变量函数函数解析式yydxxn认真观察以上出现的三个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.这些函数有什么共同点?这些函数自变量的最高次项都是二次的!二次函数的定义:注意:1、其中,x是自变量,ax2是二次项,a是二次向系数bx是一次项,b是一次项系数c是常数项。一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.)(0,为常数kkxky=一次函数正比例函数反比例函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)y=kx(k是常数,k0)y=kx+b(k,b是常数,k0)这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3(x-1)²+1(3)s=3-2t²(5)y=(x+3)²-x²(6)v=10πr²21(4)y=x-x(是)(否)(是)(否)(否)(是)(7)y=x²+x³+25(8)y=2²+2x(否)(否)1y=x+x(2)1.下列函数中,哪些是二次函数?抓住机遇展示自我2222)1()4()1()3(1)2()1(xxyxxyxyxy====是不是是不是先化简后判断2、下列函数中,哪些是二次函数?2)1()2)(2()5(=xxxyxxy1)2(2=32)4(2=xxy23)1(2=xy()()()否是否否())3)(2()3(=xxy是()知识运用3、下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x)例1、判断:下列函数是否为二次函数,如果是,指出其中常数a.b.c的值.(1)y=1-(2)y=x(x-5)(3)y=x2-x+1(4)y=3x(2-x)+3x2(5)y=(6)y=(7)y=x4+2x2-1(8)y=ax2+bx+c223x212312312xx652xx例1:关于x的函数是二次函数,求m的值.mmxmy=2)1(解:由题意可得0122=mmm时,函数为二次函数。当解得,22==mm注意:二次函数的二次项系数不能为零驶向胜利的彼岸练习1、m取何值时,函数是y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函数?122mm知识运用练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子练一练:(1)二次项系数是一次项系数的2倍,常数项为任意值。(2)二次项系数为-5,一次项系数为常数项的3倍。展示才智3、若函数为二次函数,求m的值。mm221)x(my=解:因为该函数为二次函数,则=)2(01)1(222mmm解(1)得:m=2或-1解(2)得:11mm且所以m=2满足什么条件时当,是常数其中函数cb,a,)cb,a,c(bxaxy2=01a)解:(0,0)2(=ba0,0,0)3(==cba(2)它是一次函数?(3)它是正比例函数?(1)它是二次函数?超级链接如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是______2k-3k+2x敢于创新0如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是______2k-3k+2x0,3知识的升华已知函数(1)k为何值时,y是x的一次函数?(2)k为何值时,y是x的二次函数?解(1)根据题意得∴k=1时,y是x的一次函数。=002kkk22()2ykkxkxk=当时数2(2)k-k≠0,即k≠0且k≠1y是x的二次函例2、当m为何值时,函数y=(m-2)xm2-2+4x-5是x的二次函数m-2≠0且m2-2=2m≠2m=±2∴m=-2练习:y=(m+3)xm2+m-4+(m+2)x+3,当m为何值时,y是x的二次函数?m=2小试牛刀圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².(1)写出y与x之间的函数关系表达式;(2)当圆的半径分别增加1cm,,2cm时,圆的面积增加多少?2cm在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?x-56789101112131415-y--6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究y=-5x²+100x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗?6037560455604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗?回味无穷定义中应该注意的几个问题:小结拓展1.定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).2.定义的实质是:ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系;(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;(3)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.(2)由题意得其中y是x的二次函数;(3)由题意得其中S是x的二次函数)0(42=xxy解:(1)由题意得其中S是a的二次函数;)0(62=aaS)260(1321)26(212==xxxxxS例3:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.由题意得:为解:设所求的二次函数,2cbxaxy=724410===cbacbacba5,3,2===cba解得,5322=xxy所求的二次函数是{待定系数法4.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5,求这个二次函数的解析式.2,yxpxq=解:把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入函数得:14425pqpq==12,15.q==解得,p21215yxx=所求的二次函数是{牛刀小试5.已知二次函数4)1(22=xy当x=1时,函数y有最小值为4x取任意实数(1)你能说出此函数的最小值吗?(2)你能说出这里自变量能取哪些值呢?开动脑筋注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.例如:圆的面积y()与圆的半径x(cm)的函数关系是2cmy=πx2其中自变量x能取哪些值呢?0x问题:是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢?试一试:要用长20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少?)220()1(xxy=解:xx2022=(ox10)my4232032)2(2==小试牛刀圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².(1)写出y与x之间的函数关系表达式;(2)当圆的半径分别增加1cm,,2cm时,圆的面积增加多少?2cm在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?x-56789101112131415-y--6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究y=-5x²+100x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗?6037560455604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗?回味无穷定义中应该注意的几个问题:小结拓展1.定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).2.定义的实质是:ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.创设情境,导入新课(2)你们知道:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?(1)你们喜欢打篮球吗?问题:二次函数
本文标题:26.1.1 二次函数的意义
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