26.2 二次函数的图像与性质

第二十六章二次函数26.2二次函数的图像与性质观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算相应的y值，完成下表:会用描点法画二次函数y=x2的图象吗？x…-3-2-10123…y=x2…9410149…列表函数y=x2的图象和性质xy0-4-3-2-11234108642-2y=x2描点，连线xy0-4-3-2-11234108642-2(1)你能描述此图象的形状吗?(2)此图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点.(3)此图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么?(4)当x0时，随着x的值增大，y的值如何变化？当x0呢？(5)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么？y=x22xy这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.当x0(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.当x0(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0.(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？(3)先想一想，然后作出它的图象．(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x…-3-2-10123…y=-x2…-9-4-10-1-4-9…列表函数y=-x2的图象和性质xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点，连线y=－x2xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1(1)你能描述此图象的形状吗?(2)此图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点.(3)此图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么?(4)当x0时，随着x的值增大，y的值如何变化？当x0呢？(5)当x取什么值时，y的值最大?最大值是什么？y=－x22xy2xy１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时，最小值为0.当x=0时，最大值为0.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.根据图形填表：函数y=±x2的图象和性质y=±x2和y=±2x2是y=ax2的特殊例子，a的符号确定着抛物线的……在同一坐标系中作出函数y=2x2和y=-2x2的图象x0yy=2x2y=-2x2函数y=ax2(a≠0)的图象和性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外)，它的开口向上，并且向上无限伸展；当a0时，抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外)，它的开口向下，并且向下无限伸展.3.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大.2xy2xy例1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2，-8).（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B(-1，-4)是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2，得-8=a(-2)2，解得a=-2，所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上.2)1(24（3）由-6=-2x2，得x2=3，所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是3x(3,6)(3,6).与经典例题例2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是，抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).(2)抛物线在x轴的方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x0时，y0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上232xy下增大而增大增大而减小0你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2，因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．二次函数y=3x²－6x+5的图象与性质比较函数与的图象(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．⑴完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，它们之间有什么关系?x-3-2-10123423xy23xy231yx213xy271230312274827123031227484827123031227二次函数y=3(x±1)2的图象与性质(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(4)x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？23xy213xy(5)在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(6)x取哪些值时，函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？在同一坐标系中作出二次函数y=3x2，y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象．完成下表，并比较3x2，3(x-1)2和3(x+1)2的值，它们之间有什么关系?x-4-3-2-10123423xy213xy213xy2712303122727123031227271230312272712303122723xy213xy213xy１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2(a0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=h时，最小值为0.当x=h时，最大值为0.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.根据图形填表：越小，开口越大.越大，开口越小.aa二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质在同一坐标系中作出函数y=3x²，y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.完成下表，并比较3x2，3(x-1)2和3(x-1)2+2值，它们之间有何关系?x-4-3-2-10123423xy213xy2132xy27123031227271230312272712303122729145251429二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质23(1)yx23yx23(1)2yxx=123(1)yx二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?23yxx=123(1)2yx23(1)2yx213xy2132xy23xy2132xy一般地，由y=ax²(a≠0)的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时，向右平移；当h0时，向左平移)，再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k0时向上平移；当k0时，向下平移)得到的.因此，二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²(a≠0)的关系１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（-h，k）（-h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时，最小值为k.当x=h时，最大值为k.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.根据图形填表：二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象和性质例3.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:例4.(1)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?(2)对于二次函数y=3(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?21123,2yx21215.3yx经典例题我们知道，作出二次函数y=3x2的图象，通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.那是怎样的平移呢？y=3x2-6x+5y=3(x-1)2+2只要将表达式右边进行配方就可以知道了。配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点式cbxaxy2acxabxa2acababxabxa22222222442abacabxa.44222abacabxa这个结果通常称为求顶点坐标公式.顶点坐标公式:因此，二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线..2:abx它的对称轴是直线.44,22abacab它的顶点是.44222abacabxay１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a，b和c的符号确定向上向下根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.由a，b和c的符号确定例5.确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标,并画出函数图像：经典例题2521213;yxx26580319;yxx1722;2yxx83212.yxx2151;yx22241;yxx23362;yxx412;yxx例5.画出下列二次函数图像，并确定函数图象的对称轴和顶点坐标：联赛真题1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线，开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大.a0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随