概率与概率分布

第四章概率及概率分布第一节概率基础第二节随机变量及其分布第三节几种常见的离散型分布第四节几种常见的连续型分布第一节概率基础一、随机实验与随机事件1、确定性现象和随机现象2、统计规律性：对于随机现象，仅从一次观察来看似乎没有什么规律，但通过大量观察会发现其有明显规律，这种规律性通常被称为统计规律性。3、随机实验4、随机事件二、随机事件的关系1、包含与相等2、并（和）3、交（积）4、差5、互不相容（互斥）6、逆（对立）7、分配律8、德•摩根律例：A、B、C是Ω中的随机事件，则①A与B不发生，C发生②A、B、C恰好发生一个③A、B、C至少发生两个④A、B、C至多发生两个注意：遇到“至少、至多”考虑用对立事件三、随机事件的概率1、古典概型：一般运用演绎方法计算得到2、统计概率（试验概率）注意：试验概率比较容易理解，但也存在一些问题，例如，重复n+1次试验的频率不一定比重复n次试验的频率更接近真实的概率，而且试验也不可能无限制地进行下去。3、主观概率：注意：对同一事件，主观概率因人而异（乐观、悲观）。主观概率并非由个人主观随意猜测，而是依据一定的理论知识、实际经验和对问题的分析作出的判断。四、概率的性质与运算法则：（一）基本性质：性质一：0≤P（A）≤1性质二：P（Ω）=1；P（Φ）=0性质三：设A、B是两个互不相容的事件，则P（AUB）=P（A）+P（B）推广：事件A1A2…An两两互不相容性质四：性质五：设事件A包含事件B，P（A－B）=P（A）－P（B））（）（A1APP（二）概率的运算法则1、加法定理（公式）当A、B为任意两个随机事件时：P（A+B）=P（A）＋P（B）－P（AB）如A、B互斥,则P（AB）=0即为性质三。推广：任意三个随机事件A、B、C2、条件概率与乘法定理①条件概率②乘法定理（公式）推广：）（）（）（ABPAPABP/）（）（）（APABPABP/）（）（）（）（ABCPABPAPABCP//3、独立性（事件独立性）对于任意两个随机事件A、B，如果有则称随机事件A、B相互独立（统计独立），即事件A的发生不影响事件B发生的概率。例：两个互不发生影响的事件相互独立）（）（）（BPAPABP（三）全概公式和逆概公式1、全概率公式（由乘法公式导出）我们先引入一个定义，设事件A1A2…An满足如下条件：①两两互不相容②A1+A2+…+An=Ω③P（Ai）﹥0则称事件A1A2…An是样本空间Ω的一个划分。全概率公式：设事件A1A2…An是样本空间Ω的一个划分,B是任一事件，则）（）（）（iiABPAPBP/2、逆概率公式（贝叶斯公式）与全概公式解决的问题相反，逆概公式用于已知结果发生的条件下，求这一结果是由哪种原因引起的条件概率。贝叶斯公式：设事件A1A2…An是样本空间Ω的一个划分,B是任一具有正概率的事件，则）（）（）（）（）（）（）（iiiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP///第二节随机变量及其分布一、随机变量的有关概念1、随机变量：（P66）随机变量就是随机事件的数量表现。2、随机变量的两个特点：取值的随机性，即事先不能确定Χ取哪个值；取值的统计规律性，即完全可以确定Χ取某个值或Χ在某一区间内取值的概率。3、按取值特点不同分类离散型随机变量：随机变量的取值可以一一列举；连续型随机变量：随机变量的取值充满某一区间。二、概率分布1、概率分布：由随机变量取值的概率所形成的分布，称为概率分布。它表明随机变量分布的规律，因此又称为理论分布。分析：我们研究一个随机变量Χ，首先要知道它可能取哪些值，其次要知道它取这些值的可能性是多少。我们知道频率分布是根据实际统计数据整理而形成的分布，它给出了随机变量取值的频率，因此又称为经验分布。所以，我们通常用频率近似表示概率；用频率分布近似表示概率分布2、离散型随机变量的概率分布①概念与性质②分布函数③数学期望：随机变量的均值。④方差：随机变量离差平方的均值。注意：数学期望和方差的性质)()()(ixPxXPxFiixpxuxE)()()(222iiixPuxxExExD3、连续型随机变量的概率分布①概率密度②分布函数③性质：④数学期望和方差dxxxfuxE)()(dxxfuxxDi)()(22第三节几种常见的离散型分布一、二项分布1、n重贝努里试验①每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果；②每次试验“成功”的概率为p，“失败”的概率为q，且每次试验的p不变；③n次试验是相互独立的，即n次独立重复试验。2、二项分布：在n重贝努里试验中，“成功”（我们关注的事件）的次数X是一个离散型随机变量，X的概率分布为K=0，1，2，……，n我们称X服从参数为n，p的二项分布，记为knkknqpCkXP)(pnbX，~说明：①样本空间Ω所含样本点数为2n；②p：一次试验成功概率；K：n次试验有K次成功；③④P越接近0.5或n越大，分布越趋于对称；⑤随着n的增大，二项分布趋近于正态分布。推广：P(X≥K)，P(X≤K)1)(knkknqpCkXP3、二项分布最可能“成功”的次数（众数）4、二项分布的数字特征：5、两点分布（0－1分布）pnMo1npqxD2)(npuxE)(pbX，1~二、泊松分布若离散型随机变量X的概率分布为K=0，1，2，……，n其中λ＞0（常数）则称X服从参数为λ的泊松分布，记作P（λ）。!)(kekXPk2、近似计算：当二项分布中的n大，p小（一般只要n≥20，P≤0.05即可）时，可用泊松分布近似计算其概率，其中λ=np。泊松分布可作为稀有事件（小概率事件）发生次数X的概率分布模型。!keqpnkkknk3、泊松分布的最可能值（众数）4、数字特征例：P69（4-13）如何查泊松分布表？P366三、超几何分布若有N个产品，其中有M个次品。从中随机抽取n个，则这个样本中含有次品的个数X是一个离散型随机变量，其概率分布为：K=0，1，2，……，min（M，n）则称X服从超几何分布。nNknMNkMCCCkXP)(2、近似计算当N很大，n相对N很小（一般只要n/N≤0.1即可）时，可以用二项分布近似计算超几何分布。理由：从抽样角度解释任取n件如看作是不放回的抽取n次，每次一件，则X服从超几何分布；若放回的抽取n件（n重贝努里试验），则X服从二项分布。当N很大，n相对较小时，放回地抽取n次，产品被重复抽到的可能性很小，近似于不放回抽样。第四节几种常见的连续型分布一、正态分布（高斯分布）若连续性随机变量X的概率密度为则称X服从参数为u、σ2的正态分布，记为注意：p72正态分布是最重要的一种连续性随机变量分布。22221uxexf2~，uNX2、正态曲线f（x）3、正态分布的性质①若随机变量X服从正态分布，则对任意常数a（a≠0）、b，随机变量Z=aX+b也服从正态分布。②若随机变量X，Y皆服从正态分布，则对任意常数a、b（a，b不全为0），随机变量Z=aX+bY也服从正态分布③推广：n个随机变量4、正态分布的分布函数和数字特征5、标准正态分布及查表6、正态分布的标准化若随机变量则随机变量xXpxxxXp1xx110~，NuXZ2~，uNX例1：P74（4-14）例2：P79（4.11）7、正态分布的3σ准则8、二项分布的正态近似二项分布，当n很大，p和q都不太小时，不能用泊松分布近似计算。一般当np，nq皆大于5时，就可以对二项分布作正态近似。其中u=np，σ2=npqpnbX，~二、自学指数分布与均匀分布三、分布、t分布和F分布要求：P86-88•掌握三种精确分布的定义和性质；•了解三种精确分布的密度曲线图；•会查表求值。“大数定律与中心极限定理”2大数定律与中心极限定理•大数定律和中心极限定理是概率论中最为重要的两个定理，也是统计推断的数理基础。•大数定律证明了随着样本容量n的增加，抽样平均数接近于总体均值（或试验的频率接近于概率）的趋势，几乎是具有实际的必然性。•中心极限定理论证了如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量n的增加样本平均数的分布便趋于正态分布。