概率与统计 边缘分布与独立性

概率与统计第十一讲边缘分布与独立性FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.)y,x(Flimy)y,x(Flimx2.5.边缘分布与独立性一、边缘分布函数FX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。例1.已知(X,Y)的分布函数为其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)=0001yyyeeyy二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(p80)(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…则称P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…为(X,Y)关于X的边缘分布律；1jijp1iijpP{Y＝yj}＝p.j＝，j＝1,2,…为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。x\y1011/103/1003/103/10解：x\y10pi.11/103/1003/103/10p.j故关于X和Y的分布律分别为：X10Y10P2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,则称为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理，称易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是N(1,12)的密度函数，而fY(y)是N(2,22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。例3.设(X,Y)的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性1021xxcdydx6cdyyxfxfX),()()2(100xorx10)(6622xxxdyxx设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度x=yx=-yothersxdyxdyxfxxX01001)(11othersydxyfyyY010)(设(X,Y)的概率密度为(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.01,0(,)0cyxyxfxyothers20166301()066(1)01()0xXYycydyxxfxothersydxyyyfyothers答：四、随机变量的相互独立性定义称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有p{aXb,cYd}=p{aXb}p{cYd}即事件{aXb}与事件{cYd}独立，则称随机变量X与Y独立。定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是F(x,y)=FX(x)FY(y)定理:设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理.设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为x1200.150.151ab且知X与Y独立，求a、b的值。解:由归一性0.150.151ab0.7ab由独立性0.15(0.15)0.3a0.35,0.35ab例5.甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。解:221{15}6060GGSPXYdxdy2216024515752GS21575{15}0.437560PXY定义.设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为F(x1,x2,...,xn),(X1,X2,...,Xn)的k（1kn)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的边缘分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,)()....()(),...(21121nXXXnxFxFxFxxFn五．n维随机变量的边缘分布与独立性则称X1,X2,...Xn相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1,i2,…,in及实数有则称离散型随机变量X1,X2,…,Xn相互独立。niii,...,x,xx21}{}{1111nnnniiiiiiiixX...PxXP}x,...,XxP{X设X1，X2，…，Xn为n个连续型随机变量，若对任意的(x1,x2,…,xn)Rn，f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。定义设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym)=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。定理设(X1,,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…，Ym)相互独立，则Xi(i=1,2,…,n))与Yi(i=1,2,…,m)相互独立；又若h,g是连续函数，则h(X1,,X2,…,Xn)与g(Y1,Y2,…，Ym)相互独立.2.7(续)两个随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…kjizyxgkiijp),(:,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或EX设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布，其分布律均为X01Pqp(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝X＋YV＝max(X,Y)U＝min(X,Y)2qpqpq2p011201110001VW010122q000pq22p