应用数理统计试题库

应用数理统计复习题（2010）一填空题1设621,,,XXX是总体)1,0(~NX的一个样本，26542321)()(XXXXXXY。当常数C=1/3时，CY服从2分布。2设统计量)(~ntX，则~2XF(1,n)，~12XF(n,1)。3设nXXX,,,21是总体),(~2uNX的一个样本，当常数C=1/2（n-1）时，11212)(niiiXXCS为2的无偏估计。4设)),0(~(2Nxy，),,2,1)(,(niyxii为观测数据。对于固定的0x，则0x~20201,xxNxnLxx。5．设总体X服从参数为的泊松分布，1.9，2，2，2.1，2.5为样本，则的矩估计值为ˆ＝2.1。6．设总体212~(,),,,...,nXNXXX为样本，μ、σ2未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为222212211,11nSnSnn。7．设X服从二维正态),(2N分布，其中8221,10令Y＝XYY202121，则Y的分布为12,02TNAAAA。8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表1因素水平表因素水平ABCDE130020200甲80232030250乙100表2极差分析数据表列号试验号A1B23C4D5E67数据yi(产率)1111111183.42111222284.03122112287.34122221184.85212121287.36212212188.07221122192.38221211290.4Ⅰj339.5342.7350.1350.3348.4351.6348.5T=Ⅱj358.0354.8347.4347.2349.1345.9349.0697.5Rj18.512.12.73.10.75.70.5Sj42.78118.3010.9111.2010.0614.0610.031ST=63.347则（1）较好工艺条件应为22121ABCDE。（2）方差分析中总离差平方和的自由度为7。（3）上表中的第三列表示AB交互作用。9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。表3最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据年份最大积雪深度x(米)灌溉面积y(千亩)2ix2iyiiyx计算值iyˆ残差di197115.228.6231.04817.96434.7229.913-1.313197210.419.3108.16372.49200.7221.211-1.911197321.240.5449.441640.25858.6040.790-0.290197418.635.6345.961267.36662.1636.077-0.477197526.448.9696.962391.211290.9650.218-1.318197623.445.0547.562025.001053.0044.7790.221197713.529.2182.25852.64394.2026.8312.369197816.734.1278.891162.81569.4732.6321.468197924.046.7576.002180.891120.8045.8670.833198019.137.4364.811398.76714.3436.9830.417Σ188.5365.33781.0714109.377298.97则y关于x的线性回归模型为ˆ2.3561.813~0,1.611yxN10设总体12~(,1),,,...,nXUXXX为样本，则θ的矩估计量为12x，极大似然估计量为max{X1,X2,…,Xn}。12设总体X在区间]1,[上服从均匀分布，则的矩估计ˆ12x；)ˆ(D1/12n。13设nXX,,1是来自正态总体),(2N的样本，2,均未知，05.0.则的置信度为1的置信区间为221,1ssxtnxtnnn；若为已知常数，则检验假设,::20212020HH（20已知），的拒绝域为221(n-1)X。14设X服从p维正态),(pN分布，是来自nXXX,,,21X的样本，则的最小方差无偏估计量ˆ2nii11xn；X服从p0,/Nn分布。15设（X1，…，Xn）为来自正态总体),(~pNX的一个样本,已知。对给定的检验水平为，检验假设0100::HH，（0已知）的统计量为0xn，拒绝域为2uu。二计算及证明题1设21,XX是来自总体),(~2uNX的一个样本。（1）证明21XX，21XX相互独立（2）假设0u，求221221)()(XXXX的分布212121212212212121,,0,10,120,20,22,20,20,2xxxNxxNNxxxxNNxxNxxNxxN证明：因为：均服从所以：，，即：，1212200,0,xxNxxN，，即2212~1XXX2212~2XXX2122112122212122/~(,)(1,1)~(1,1)/XXnXXFFnnFFXXXXn2设nXXX,,,21是总体)1,0(~NX的一个样本，求统计量2121)(1)(1nmiimiiXmnXmY的抽样分布。2222__111122__22__1111~(0,1)111/1/imniiiimXNYXXmXnmYmnmXYmXnmYmnm__1122__22112~0,1~0,11/1/~1~11/1/~2XYNNmnmXYXXmnmYX3设总体)(~EX（指数分布），nXXX,,,21是总体的一个样本，证明)2(~221nXnii4设总体)(~PX（泊淞分布），nXXX,,,21是总体的一个样本，2SX和为样本均值和样本方差，试求（1）nXXX,,,21的联合分布律（2）)(),(),(2SEXDXE111221111,,,!niiinnniiiXxnnniiiiPXXXXXXPXXeeXX11122221121,2,,111,11211iiinnniiiiiinniiiiiXinEXDXEXEXEXDXDXnnnnESEXXEXXXXnn221122122122212112111nniiiiniiniiiiiEXXXnXnEXEXnXEnXnEXEnXnEXDXEX22222211(1)11EnXDXEXnESnnnnn5设nXXX,,,21是总体X的一个样本，试求下列总体的矩估计量和极大似然估计量。（1）总体X的分布律是),3,2,1()1()(1kkXPk，其中10未知参数。（2）X的密度函数为其他010)(1xxxf（0为待估计参数）6设总体),(~2uNX（方差已知），问需抽取容量n多大时，才能使得总体均值的置信度为1的置信区间的长度不大于L？解：2~,~(0,1)/XXNNn21PUU22/XUUn2222222//42/XUnUXUnUnLnUL22/UnL22224nUL7为了检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机取50L，化验每升水中大肠杆菌的个数（一升水中大肠杆菌的个数服从Poisson分布），化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使得上述情况发生的概率最大？8某系中喜欢参加体育运动的60名男生平均身高为172.6cm，标准差为6.04cm，而对运动不感兴趣的55名男生的平均身高为171.1cm，标准差为7.10cm。试检验该系中喜欢参加运动的男生平均身高是否比其他男生高些。（05.0）9设有线性模型3213221211122εββyεββyεβy，其中)3,2,1)(,0(~2iNi且相互独立，试求（1）21和的最小二乘估计（2）给出21和的分布并证明他们的独立性（3）导出检验210:H的检验统计量(1)根据线性最小二乘法定义：设函数2221211212312,22Qyyy只需要是此函数最小121121231211231,22222222601Qyyyyyy122123122232,222222502Qyyyy解（1）（2）得，估计值：123321122,65yyyyy10若总体X服从正态分布22.1,1N，样本nXXX,,,21来自总体X，要使样本均值X满足不等式95.01.19.0XP，求样本容量n最少应取多少？2xu1,1.2~N0,1n1.110.910.91.10.951.2/1.2/:210.951212120.9751.96121.9612553.2nNxnnnnnnnn解：有则：由p得即样品容量最少应取55411有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4.根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？0.05.n22i10.9751122H0u23.8H1u23.8H01x26.72224.121.027.22523.424.271x4.52,2.13nx23.8x0,1//x23.824.223.80.497/2.13/71.960.4971.ixuNnnunuuuu解：由问题提出假设：，：在成立的前提下：统计量：U=而960接受假设H,即这组数据能说明新安眠药的疗效11.设总体X的概率密度为1,0(,)00xxexfxx，其中λ0是未知参数，α0是已知常数，12,,...,nXXX为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。（1）矩估计：根据矩估计的定义E（X）=X1001xEXxxdxxde