毕业论文：数学归纳法的应用

I浅谈数学归纳法的应用摘要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学以及在高等数学中的应用。要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其原理和意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明一些数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。关键词：归纳法，数学归纳法，证明IItheApplicationofMathematicalInductionABSTRACTMathematicalinductionisaveryimportantmathematicalmethod,itnotonlyofthemiddleschoolmathematicslearninghastheverybighelptous,butinthehighermathematicsstudyandresearchisalsoakindofimportantmethod,mathematicalinductiontestthecorrectnessoftheformulasisalsohasalotofapplications.Mathematicalinductionisabridgetoinfiniteintoalimited,mainlydiscussesabouttherelevantpropositionsoridentitiesofnaturalnumbersetmathematicalinductionmethodinmiddleschoolmathematicsproblemofdivisibleidentitiesareproved,axiomprovesthatthepermutationandcombination,geometricfield,hasawiderangeofapplications,herewemainlycombinedwithjuniorhighschooltextbookstodetailedmathematicalinductionmethodinmiddleschoolmathematicsandapplicationinadvancedmathematics.Tousemathematicalinductionaccurate,itmustfirstbeaccuratelyunderstanditsprincipleandthesignificanceaswellasexpertlygrasptheproblemsolvingsteps,andinthreesteps,itisimportanttouseinductivehypothesis,usingtheinductionhypothesislaunchaguessthatthemostimportant.Finallywethroughusemathematicalinductiontoprovesomemathproblemsintheprocessof,canbemoreprofoundunderstandingandmasteringinduction-guess-proofthediscoveryofthinkingmethod.KEYWORDS:inductionmethod,mathematicalinduction,proofIII目录1绪论...................................................................11.1引言.............................................................11.2数学归纳法的来源.................................................12数学归纳法的概述......................................................32.1常用数学证明方法................................................32.1.1演绎法......................................................32.1.2归纳法......................................................32.2数学归纳法基本原理及其其它形式..................................32.2.1数学归纳法概念..............................................32.2.2数学归纳法的基本原理........................................42.2.3数学归纳法的其它形式.......................................53数学归纳法的步骤......................................................63.1数学归纳法的步骤.................................................63.2三个步骤缺一不可.................................................74数学归纳法的典型应用...................................................94.1证明恒等式........................................................94．2证明不等式.....................................................104．3证明整除问题...................................................134.4证明几何问题...................................................134.5行列式与矩阵的证明..............................................145运用数学归纳法时容易出现的错误分析....................................175.1忽略了归纳奠定基础的必要性......................................175.3在第二步证明中没有利用归纳假设..................................186应用数学归纳法时的一些技巧............................................196.1灵活选取“起点”................................................196.2恰当选取“跨度”...............................................206.3选取合适的假设方式.............................................206.3.1以“假设nk£时成立”代替“假设nk=时成立”...............206.3.2以“假设nk=，1nk=+时成立”代替“假设nk=时成立”......217数学归纳法的地位和作用................................................23致谢...................................................................24参考文献................................................................25浅谈数学归纳法的应用11绪论在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“k时命题成立，那么1k时命题也成立”的证明方法。数学归纳法是一种重要且独特的证明方法,对与自然数n有关的命题证明是可行有效的，它使学生了解一种“化无限为有限”的辩证思维方法，而且它又不是那么直观易懂的，学生在学习数学归纳法的过程中，总会产生一个这样的疑问，在用数学归纳法证明表达式中，证明三步骤是不是真的完整呢，)(kp真仅是纯粹的假设,一旦不真,用它去推真，岂不是“无稽之谈”，即使推出)1(kp真能保证)(np真吗？如果让学生带着这种疑问去学习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感的。当然老师会说这是非常完整的,那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢。我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来，可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用，在用数学归纳法证明恒等式时，当然我们会知道这个恒等式肯定是正确的，那么它又是如何被前人计算出来的呢，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢。要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解。1.1引言数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，它是一个递推的数学论证方法。论证的第一步是证明命题在1n(或0n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在kn时命题成立，再证明1kn时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或0nn且Nn）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。数学归纳法在数学解题中有着广泛的应用，在数学教学中常用在证明下列命题：与自然数n有关的恒等式、不等式、数列、几何、整除性、计数、矩阵等等。1.2数学归纳法的来源数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨．他确信无疑地得出：222)12(531nn毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由有限个特殊情况而作出一般的结论，但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推。．尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础。而对于数学归纳法的应用，李文林翻译的美国数学史《数学史通论》（第二版）中，J.Z.Katz教授表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师师莱文.本.热尔森（LevibenGerson,1288--1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中也已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法及其原理[2]。但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F.Maurolycus,1494-1575），真正明确数学归纳法证明两步的应该还是17世纪的数学家帕斯卡(B.Pascal,1623~1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。“数学归纳法”名称则是由英国数学家创立,并由英国教科书作者普遍采用而推广