控制工程基础-第四章

2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系1第四章线性控制系统的稳定性4.1线性系统稳定性的基本概念4.2传递函数表示的系统稳定性判定4.3本章小结2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系2稳定是控制系统能够正常运行的首要条件►对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。自动控制理论的基本任务(之一)►分析系统的稳定性问题►提出保证系统稳定的措施一、稳定性分析的重要性4.1线性系统稳定性的基本概念2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系3二、线性系统稳定性分析的理论框架稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判定系统的稳定性2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系4A.Lyapunov(1857-1918)，俄国数学家（Chebyshev的学生，Markov的同学），在他的博士论文中，Lyapunov系统地研究了由微分方程描述的一般运动的稳定性问题，建立了著名的Laypunov方法，他的工作为现代控制及非线性控制奠定科基础。三、线性系统稳定性分析的划时代人物2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系54.2传递函数表示的系统稳定性判定本小节是本章的重点，主要介绍以下内容：4.2.1SISO线性定常系统的稳定性问题4.2.2Routh稳定判据4.2.3Routh判据的两种特殊情况4.2.4Routh判据的推广4.2.5Routh判据的应用2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系62020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系72020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系8一、稳定性基本概念1、稳定性任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。4.2.1SISO线性定常系统的稳定性2、平衡状态系统所受的作用力达到平衡，使系统处于稳定（不运动）的状态。称为平衡状态。ab2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系94.2.1SISO线性定常系统的稳定性2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系104.2.1SISO线性定常系统的稳定性2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系114.2.1SISO线性定常系统的稳定性2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系124.2.1SISO线性定常系统的稳定性临界稳定2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系134.2.1SISO线性定常系统的稳定性李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳定。反之，若初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系144.2.1SISO线性定常系统的稳定性由稳定性定义可知：1）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。2）若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系154.2.1SISO线性定常系统的稳定性11()()()()()(){()}{()}YsCsGsUsGsctLCsLGs所以对于脉冲响应，我们有：{()}1Lt显然，系统是否稳定取决于G(s)极点在S平面中的位置。推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应函数趋于零，则该线性定常系统稳定。系统是稳定的。lim()0tct系统仍能回到原有的平衡状态简证：2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系164.2.1SISO线性定常系统的稳定性推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面，则系统稳定。则脉冲响应为：简证：令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点：)2()()()()(22111++P+P+PnknkkrkjqjimissPsZsKssGwwxf++rkrkknktkknktkqjtpjteCteBeAtgnkknkkj112211cos1sin)(xwxwwxwx显然只有当系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面时，g(t)|t→∞0成立，即系统才稳定。2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系17j0j0j0j0j04.2.1SISO线性定常系统的稳定性2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系184.2.1SISO线性定常系统的稳定性推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。这个推论的证明请同学们自行完成。2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系19二、SISO系统阶跃响应的稳定问题实根情况：2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系20虚根情况：2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系214.2.1SISO线性定常系统的稳定性临界稳定：当系统的极点有在虚轴上时，系统的输出将会出现等幅振荡的状态，称之为临界稳定状态。稳定裕度的概念：S平面2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系22三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：求脉冲响应求阶跃响应求系统的闭环特征根不易求其它简单的判定方法?2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系234.2.2Routh稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)Routh表将闭环特征方程的各项系数，按右面的格式排成Routh表。102113212321343212753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn000122110+++++aaSaSaSaSannnnn系统闭环特征方程130211aaaaab150412aaaaab132111babacb153121babacb2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系24系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。③如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变化次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据表中这样可求得n+1行系数121211141713131512121311170613150412130211,,,,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab┇2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系250103.25175.41423+++SSS例4.2-1试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表401423103.25.380103.25.4105171SSSS由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。已知某一调速系统的闭环特征方程式为：2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系264.2.3Routh判据的两种特殊情况劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不等于0或没有其余项。以一个很小的正数来代替为0的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。解决的办法若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定。结论2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系27已知系统的闭环特征方程式为02223+++SSS试判别相应系统的稳定性。2)(022110123SSSS由于表中第一列上面元素的符号与其下面元素的符号相同，所以该闭环特征方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定系统(这在工业上属于不稳定的系统)。例4.2-2解：列劳斯表2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系28劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根(关于原点对称的根)。利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全0的行。从而完成劳斯表的排列。解决办法关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。③如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。结论4.2.3Routh判据的两种特殊情况2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系2916038166248000161220161221620810123456SSSSSSS由于第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。该系统处于临界稳定状态。已知系统的闭环特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例4.2-3解：列劳斯表ssdssdF248)(3+2,2jj令F(s)=0，求得：sssF16122)(24++=2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系304.2.4Routh判据的推广实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的根离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”——稳定裕度。令s=s1-a，代入原系统的闭环特征方程中，得到以s1为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线s1=-a右侧。1sa02020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系31用劳斯判据检验下列特征方程例4.2-4解：列劳斯表041310223+++SSS是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在的右方。1S42.121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。s1s-10jω2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系32令S=Z-1代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223+++ZZZ014223+ZZZ式中有负号，显然有根在1S的右方。列劳斯表12114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。1S041310223+++SSS2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系334.2.5Routh判据的应用例4.2-51系统参数稳定范围的确定已知某调速系统的特征方程式为0)1(16705175.4123++++KSSS求该系统稳定的K值范围。)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS+++由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值：++0)1(16700)1(2.40517KK9.111K解：列劳斯表2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系34第一列均为正值，S全部位于左半平面，故系统稳定。已知一单位反馈控制系统如下图所示，试回答：)(sR)(sCsKt）（10)5(20++sss—)(sGc时，闭环系统是否稳定？ssKsGpc)1()(+时，闭环系统的稳定条件是什么？1)(sGc例4.2-61)(sGc20152075020155010123SSSS时，闭环系统的特征方程为:解：020501523=+++SSS2020/1/29北京科技大学自动化学院自动化系35闭环特征方程为：020205015234++++ppKSKS