第二章 弹性力学的基本方程和一般定理 1

第二章弹性力学的基本方程和一般定理§2-1弹性力学中的几个基本概念§2-2平衡（运动）微分方程§2-3几何方程和连续性方程§2-4广义Hooke定律§2-5斜面应力公式与应力边界条件§2-6位移边界条件§1-2弹性力学中的几个基本概念基本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力体力、面力（材力：集中力、分布力。）(1)体力——弹性体内单位体积上所受的外力——体力分布集度（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。(2)面力——作用于物体表面单位面积上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。2.应力(1)一点应力的概念ΔAΔQ内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)P(1)P点的内力面分布集度(2)应力矢量.----P点的应力的极限方向Q由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力单位:与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：用矩阵表示：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号的意义：第1个下标x表示τ所在面的法线方向；第2个下标y表示τ的方向.应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO与材力中剪应力τ正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时转的剪应力τ为正，反之为负。在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题xyzO3.形变形变——物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。PBCA——用线（正）应变ε度量——用剪应变γ度量（剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：(1)一点形变的度量应变的正负：线应变：伸长时为正，缩短时为负；剪应变：以直角变小时为正，变大时为负；(2)一点应变状态xyzOPBCA其中应变无量纲；4.位移注：一点的位移——矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即xyzOSwuvPP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量纲：m或mm弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：应力与外力(体力、面力)间的关系；（2）几何学关系：形变与位移间的关系；（3）物理学关系：(本构关系)形变与应力间的关系。§2-2平衡(运动)微分方程在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。oxyzzzdzz+zyzydzz+zxzxdzz+yydyy+yzyzdyy+yxyxdyy+xxyxzzzyzxyyzyxxxdxx+xyxydxx+xzxzdxx+e'eBPCAdxdydz首先，以连接六面体前后两面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程oxyzzzdzz+zyzydzz+zxzxdzz+yydyy+yzyzdyy+yxyxdyy+zzyzxyyzyxe'eBPCAdxdydz整理，并略去微量后，得同样可以得出剪应力互等定理列出x轴方向的力的平衡方程由其余两个平衡方程和可以得出与之相似的两个方程。化简，除以dxdydz，得空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理,在体力项中引入惯性力:运动微分方程§2-3几何方程和连续性方程第二节有关力学基本概念描述已知:*在载荷作用下,物体的形状和位置要发生变化,*力学中用应变来度量一点形状的改变;用位移来度量一点位置的改变.如已知物体中每一点的位移,则受载物体的位置和形状均可确定.即位移与应变之间存在一定的关系.描述位移与应变之间关系的方程称为几何方程研究在oxy平面内投影的变形，PABCA’B’C’P’PA=dxPB=dyPC=dz一.几何方程一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOP考察P点邻域内线段的变形：PAdxBdyABuvdyPBdxPA变形前变形后PABBPAuv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPAdxBdyuvPA的正应变：dyvdyyvv+yvyPB的正应变：dxudxxuu+xuxP点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化yuxvxy+yudyudyyuu+tantanxvdxvdxxvv++xyxyOPAdxBdyuv整理得：——几何方程同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西(Cauchy)方程几何方程（1）几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6个分量)间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当位移分量u、v、w已知，则6个应变分量可完全确定；反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）说明：（3）几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。二.连续性方程应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯一确定的。反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。-------从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。-------从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。第1式对y求两阶偏导第2式对x求两阶偏导2322yxuyx2322xyuxy两式相加：23232222xyuyxuxyyx+++xvyuyx2将第4式代入得：yxxyxyyx+22222同理：xzzxzxxz+22222zyyzyzzy+22222后三式分别对z、y、x求偏导得：xzvyzuzxy+22yxwzxvxyz+22zyuxywyzx+22++xuzyzyxxxyzxyz22+yvxzzyxyxyzxyz22+zwyxzyxzxyzxyz22同理：yxxyxyyx+22222xzzxzxxz+22222zyyzyzzy+22222++xuzyzyxxxyzxyz22+yvxzzyxyxyzxyz22+zwyxzyxzxyzxyz22连续性方程连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条件。如应变分量满足连续性方程，可保证位移分量存在。