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1/14几何五大模型短期班杯赛班第一讲教师版讲义一、一半模型1)平行四边形(包括长方形、正方形)中的一半模型:2)梯形中的一半模型:3)任意四边形中的一半模型:特殊一般模型:1、等边三角形中的一半模型2、正方形中的一半模型中点中点中点中点中点中点中点中点中点中点中点2/14例1:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是ABCD各边的中点,求阴影部分与四边形PQRS的面积之比.【解析】(法1)设1AEDSS,2BGCSS,3ABFSS,4DHCSS.连接BD知112ABDSS,112ABDSS,112ABDSS,212BCDSS;所以121122ABDBCDABCDSSSSS;同理3412ABCDSSS.于是1234ABCDSSSSS;注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形,没算的部分是四边形PQRS;因此四块阴影的面积和就等于四边形PQRS的面积.(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题),将四边形画成正方形,很容易得到结果.例2:如下图所示,P是等边三角形ABC内一点,PD⊥BC,PF⊥AB,PE⊥AC,三角形ABC的面积是2011.三个阴影三角形中,甲的面积是286,那么乙、丙两个三角形的面积和是多少?【解析】过P点做三边的平行线(如下图),可以将等边三角形分割成3个平行四边形和3SRQPHGFEDCBASRQPHGFEDCBA丙乙甲FEDCBAP3/14个等边三角形.根据一半模型,阴影部分面积等于空白部分的面积,则阴影部分的面积是201121005.5.则乙、丙两个三角形的面积和是1005.5286719.5.二、等积变形||ACDBCDDABCABAODBOCSSABCDSSSS题型一:构造平行线例3:如右图,正方形ABCD的面积是20,正三角形BPC的面积是8,求阴影BPD的面积.【解析】连接AC交BD于O点,并连接PO.如下图所示,FEDCBAODCBAPDCBAOABCDP4/14可得//PODC,所以DPO与CPO面积相等(同底等高),所以有:BPOCPOBPOPDOBPDSSSSS,因为1120544BOCABCDSS,所以853BPDS.例4:【铺垫】1)下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积.【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系.连接AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等.因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等.根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4428.2)正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为10厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米?【解析】连接CF,那么CF平行BD,所以,阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积50(平方厘米).1.已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.【解析】如果注意到DF为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边),那么容易想到DF与CI是平行的.所以可以连接CI、CF,如上图.由于DF与CI平行,所以DFI的面积与DFC的面积相等.而DFC的面积为1104202,所以DFI的面积也为20.2.如图,长方形ABCD中,67AB,30BC.E、F分别是ABBC、边上的两点49BEBF.那么,三角形DEF面积的最小值是_______.G4ABCDEFG4ABCDEFDGFHECBAABCEHFGDJIHGABCDEFJIHGABCDEF5/14【解析】由于长方形ABCD的面积是一定的,要使三角形DEF面积最小,就必须使ADE、BEF、CDF的面积之和最大.由于ADE、BEF、CDF都是直角三角形,可以分别过E、F作AD、CD的平行线,可构成三个矩形ADME、CDNF和BEOF,如图所示.容易知道这三个矩形的面积之和等于ADE、BEF、CDF的面积之和的2倍,而这三个矩形的面积之和又等于长方形ABCD的面积加上长方形MDNO的面积.所以为使ADE、BEF、CDF的面积之和最大,只需使长方形MDNO的面积最大.长方形MDNO的面积等于其长与宽的积,而其长DMAE,宽DNCF,由题知67304948AECFABBCBEBF,根据”两个数的和一定,差越小,积越大”,所以当AE与CF的差为0,即AE与CF相等时它们的积最大,此时长方形MDNO的面积也最大,所以此时三角形DEF面积最小.当AE与CF相等时,48224AECF,此时三角形DEF的面积为:6730673024242717.(也可根据16730672430244367172得到三角形DEF的面积)三、等积变形例5:如图,在△ABC中,D为BC边上任一点,13AEAD,13EFEB,FGGC,△EFG的面积为1平方厘米,求△ABC的面积.【解析】连接E、C两点.由FG=GC,::2:1EFCEFGSSFCFG,所以,22EFCEFGSS(平方厘米),又由13EFEB,则,36EBCEFCSS(平方厘米),则根据13AEAD,得336922ABCEBCSS(平方厘米)拓展:如图,在三角形ABC中,AD=2,BD=3,四边形DBEF的面积等于三角形ABE的面积,若三角形ABC的面积为10,则四边形DBEF的面积是多少?ABCDEFMNOABCDEFGFEDCBA6/14【解析】【解析】连接DE,,BDFEABEBDFEBDOEABEBDOEAODEFOSSSSSSSS.所以AODEODEFOEODSSSS即ADEEFDSS.三角形ADE和三角形FED面积相同,说明2个三角形同底等高,即AC平行DE.所以::2:3CEEBADDB,所以33106235ABEABCSS.所以6BDFEABESS.四、蝴蝶模型例6:(1)如图,正方形ABCD中,E为DC边的中点,正方形ABCD的面积为48.求阴影部分面积.【解析】连接AEFADBECOFEDCBAFEDCBA7/14根据蝴蝶模型,因为AB平行CD且:1:2CEAB,则有22:::1:12:12:21:2:2:4CEFABFAEFBFCSSSS.则4248216423ABFABCSS.(2)如图,正方形ABCD的面积是64平方厘米,正方形CEFG的面积是36平方厘米,DF与BG相交于O.则三角形DBO的面积等于多少平方厘米?【解析】连接CF,则有CF平行BD,所以264232FBDBCDSScm.正方形ABCD的边长为8厘米,正方形CEFG的边长为6厘米.86866:::28:922DBGBFGDOOFSS228288963228928937DBOBFDSScm.五、鸟头模型例7:如图,是一个正六角星纸板,其中每条边长为5.现在沿虚线部分剪开,那么较小的那部分占到整体面积的几分之几?FEDCBAOGFEDCBAOGFCBADE8/14【解析】将正六角星等分为12个相同的等边三角形,其中三角形ABC由9个组成,占总体的93124.根据鸟头模型,11131433143=15152254300BDEABCSSSS总总,1433143413004300150ABCSSSSSS阴影总总总总.411107+=15012300SSSS较小总总总作业:1、如图,有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上,其中正方形GFEB的边长为10厘米,求阴影部分的面积.42CBAED132114CBA9/14【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形,一般可以连接正方形同方向的对角线,连得的这些对角线互相都是平行的,从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.如右图所示,连接FK、GE、BD,则////BDGEFK,根据几何五大模型中的面积比例模型,可得DGEBGESS,KGEFGESS,所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积,即为210100平方厘米.2.如图,在长方形ABCD中,6AB厘米,2AD厘米,AEEFFB,求阴影部分的面积.【解析】方法一:如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形AED的面积为26322平方厘米.由于:1:3EFDC,根据梯形蝴蝶定理,:3:1DEOEFOSS,所以34DEODEFSS,而2DEFADESS平方厘米,所以321.54DEOS平方厘米,阴影部分的面积为21.53.5平方厘米.方法二:如图,连接DE,FC,由于:1:3EFDC,设1OEFS△份,根据梯形蝴蝶定理,3OEDS△份,2(13)16EFCDS梯形份,134ADEBCFSS△△份,因此416424ABCDS长方形份,437S阴影份,而6212ABCDS长方形平方厘米,所以3.5S阴影平方厘米3.右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.KOQPHGFEDCBAKOQPHGFEDCBABCADEFOBCADEFO10/14【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么OCDOAESS.根据蝴蝶定理,4936OCDOAEOCEOADSSSS,故236OCDS,所以6OCDS(平方厘米).4如图,将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是.【解析】连接AC、BD.由于2BEAB,2BFBC,于是4BEFABCSS,同理4HDGADCSS.于是444BEFHDGABCADCABCDSSSSS.再由于3AEAB,3AHAD,于是9AEHABDSS,同理9CFGCBDSS.于是999AEHCFGABDCBDABCDSSSSS.那么491260EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCDSSSSSSSSSS5.如图所示,正方形ABCD边长为6厘米,13AEAC,13CFBC.三角形DEF的面积为_______平方厘米.【解析】由题意知13AEAC、13CFBC,可得23CEAC.根据”共角定理”可得,:():()12:(33)2:9CEFABCSSCFCECBAC△△;而66218ABCS△;所以4CEFS△;同理得,:2:3CDEACDSS△△;,183212CDES△,6CDFS△故412610DEFCEFDECDFCSSSS△△△△(平方厘米).学案1:在图中的长方形ABCD中,AEBG,::AFABAEED.如果△FCE的面积是20平方厘米,三角形FGD的面积是16平方厘米,那么长方形ABCD的面积是多少?21ABCDE9421ABCDEO94ABCDEFGHABCDEFGHFEDCBA11/14【解析】连接EG,过F做FH平行AD交CD于H,EG和FH相交于O点,连接CO,EH,FG.由FH平行BC,则有12COFFOGFOGBSSS,由EG平行CD,则有12COEEHOOHDESSS.所以1
本文标题:小学奥数几何五大模型短期班第一讲教师版讲义
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