第一章行列式按行列展开

,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa行列式按行按列展开一、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nijaij1nija.Mij，记ijjiijMA1叫做元素的代数余子式．ija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MA.23M,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1行列式按行（列）展开法则定理证明（分三步）第一步111211111121110001nnnnnnnnaaaaDaaaa111211212221111211nnnnnnaaaaaaaaa121122(1)(1)(1)iiiniiiiininaMaMaM得nnnjnijnjaaaaaaaD1111100111111111111111111111111111110000jjjniijijijinniiijijijinnijnjnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaa1把D的第i行依次与第i+1行，第i+2行,…,第n行对调为什么依次对调行？第二步再把D的第j列依次与第j+1列，第j+2列,…,第n列对调1ijijM111111111111111111111111111110001jjnjiijijinijninjiijijinijnnjnjnnnjaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaa1.ijAn一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDiijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.14442412422211412113333aaaaaaaaaa例如nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000第三步nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa2211ni,,2,1例13351110243152113D03550100131111115312cc34cc0551111115)1(3305502611512rr5526)1(315028.40行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211代数余子式的重要性质;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中推论证用数学归纳法21211xxD12xx,)(12jijixx）式成立．时（当12n例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（11n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn就有提出，因子列展开，并把每列的公按第)(11xxi)()())((211312jjininnxxxxxxxxD).(1jjinixx223223211312111)())((nnnnnnxxxxxxxxxxxxn-1阶范德蒙德行列式0532004140013202527102135D例４计算行列式解0532004140013202527102135D231100720666627210.1080124220231254142355320414013202135215213rr122rr例计算阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD解abbbnababbnabbabnabbbbna1111D将第都加到第一列得n,,3,2用化三角形行列式计算abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna1)1(00.)()1(1nbabna例.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn解列都加到第一列，得将第1,,3,2nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin将第一列的-a1倍加到第2列，-a2倍加到第3列,…,-an倍加到最后一列，得axaaaaaxaaaxaxDnniin23122121111010010001)(.)()(11niiniiaxax本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．评注用降阶法计算例６计算.4abcdbadccdabdcbaD解将行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取第一行的公因子abcd,1111)(4abcdbadccdabdcbaD列，得列都减去第、、再将第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD按第一行展开得把第二行加到第一行，再提取公因子得：110()(),abcdabcddcacbccdbdadD４])()([))((22cbdadcbadcba))(())((dcbadcbadcbadcba4100()(),abcdabcddcadbccdbcadDdacbcbdadcbadcbaD))((４第二列减去第一列得按第一行展开本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．评注用递推法计算例计算.21xaaaaxaaaaxaDnn解拆分最后一列使得行列式等于两个行列式的和.000121xaaaxaaaaxaaaaxannaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn12112110000,00000nnnxaxaxDxaa由此递推，得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121１即).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn)].111(1[2121xxxaxxxDnnn12,,0nxxx当112212nnnnDxxxaxD1211nnnnDxxxaxD12112212nnnnnnnDxxxaxxxaxxxD12nnaxaaaaxaDaaax关于的解法二112100nnDaxaaxxxx把第一行的-1被加到第2、3、…、n行，得这是一种典型的行列式,见P17例10120nxxx当时120nxxx当时设111222333222111nnnnnnnn证明递推公式：1112nnnnnnDDD例设2112112112112112求nD例例nnDn00103010021321求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA设n阶行列式nAAA11211n001030100211111.11!2njjn灵活运用行列式的按行或按列展开性质例３设,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn.2DD１证明：用行列式的定义证明证明由行列式的定义有.,)1(2121121的逆序数是排列其中ppptaaaDnpnpptn.,)1()())(()1(21)()21(212211221212211的逆序数是排列其中ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn,212npppn１而.)1(121221DaaaDpppnnt所以　　利用范德蒙行列式计算例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn解.1333122211111!121212nnnnDnnnn上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知!.1!2)!2()!1(!)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!)(!1nnnnnnnnxxnDjinjin本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式