用解析法进行机构的运动分析

§3—3用解析法进行机构的运动分析用解析法作平面机构的运动分析的关键是建立机构位置矢量封闭方程式。随着计算机的普及，解析法得到了越来越广泛的采用。常用的解析法有：矢量方程解析法、矩阵法、复数矢量法、杆组法。一、复数矢量法复数矢量法是先写出机构的封闭矢量方程式，然后将它对时间求一次和二次导数即得速度和加速度矢量方程式，最后用复数矢量运算法求出所需的运动参数。缺点：对每一个机构都要列具体方程，对于多杆机构用起来很复杂，有时甚至方程的解解不出来，所以对复杂机构，我们多采用杆组法。机构中的杆可用矢量来表示，而矢量又可用复数表示。=r=r(cosθ+isinθ)（欧拉公式）iθeOP对上式求导，可用来速度分析：iθre()=(r)iθriθe+iθe其中：为ω；对于定长矢量，为0，对于变长矢量，表示相对移动速度。θr对上式再求导，可用来加速度分析：iθre()=-(r2)θiθe+θ(r)iiθe+(2)i+riθerθiθe物理意义：rω2(向心)rα(切向)ar(相对)2ωV(哥氏加速度ak)下面以图示的铰链四杆机构为例来详细推导位移、速度、加速度方程：已知：杆长L1，L2，L3，L4，θ1，ω1。求：θ2，，，θ3，，2θ2θ3θ3θ解：建立如图所示直角坐标系，并将以，，，分别表示各杆的向量，则向量方程式为：1L2L3L4L+=+1L2L3L4L用复数表示为：1L1iθe+=+2L3L4L2iθe3iθe（*）按欧拉公式展开：(cosθ1+isinθ1)+(cosθ2+isinθ2)=(cosθ3+isinθ3)+1L2L3L4L各杆以矢量形式表示出来。为方便起见，取x轴与机架重合且L4的方向沿x轴正向。分离虚、实部：cosθ1+cosθ2=cosθ3+1L2L3L4Lsinθ1+sinθ2=sinθ31L2L3L令a=－cosθ1，b=sinθ1，则：4L1L1Lcosθ2=cosθ3+asinθ2=sinθ3－b2L3L3L(1)(2)2L(1)2+(2)2得：2L2=(cosθ3+a)2+(sinθ3－b)23L3L整理得方程：Asinθ3+Bcosθ3+C=0(3)1L(cosθ1+isinθ1)+(cosθ2+isinθ2)=(cosθ3+isinθ3)+2L3L4L其中：A=2b，B=－2a，C=2－2－2－2+2cosθ13L3L2L1L3L4L1L4L令：t=tg，则：代入(3)式，整理得：(C－B)t2+2At+(B+C)=02θ3t1、2=CBCBAA222∴θ3=2arctgt1、2=2arctgCBCBAA222同理可求θ2=？Asinθ3+Bcosθ3+C=0(3)cosθ3=（1－t2）/(1+t2)sinθ3=2t/(1+t2)说明：1）“±”——取决于机构的初始安装模式：“+”号适用于图示机构ABCD位置的安装方案；“-”号适用于机构ABC′D位置的安装方案。2）θ31、θ32——取决于从动件运动的连续性：若|θ31－θ3||θ32－θ3|（θ3为前一个位置计算出来的值），则取当前的θ3=θ31，否则取θ3=θ32。3）若A2+B2-C20（如θ1=120°代入时），即没有θ3，说明机构不能运动到此位置——可用来判断机构的可动范围。θ3=2arctgt1、2=2arctgCBCBAA2221iθe3L2L速度分析：对（*）式求导：()i+()i=()i1L1θ2L2iθe2θ3θ3iθe欧拉公式展开：i(cosθ1+isinθ1)+i(cosθ2+isinθ2)=i(cosθ3+isinθ3)3L1L1θ2L2θ3θ(**)分离虚、实部：-sinθ2+sinθ3=sinθ1cosθ2-cosθ3=-cosθ12θ3L3θ1L1θ2L2θ3L3θ1L1θ解得：2θ=?3θ=?加速度分析：对（**）式再求导，可解得:2θ=?3θ=?通过上述对四杆机构进行运动分析的求解可见，用解析法作机构运动分析的关键是位置方程的建立和求解，至于速度和加速度分析只不过是其位置方程对时间t求一次、二次导数。1iθe+=+2L3L4L2iθe3iθe（*）1L二、杆组法一）基本思路由机构组成原理可知，任何平面机构都可以分解为原动件、机架和若干个杆组。因此，我们只要分别对原动件和常见的基本杆组进行运动分析并编成相应的子程序，那么在对机构进行运动分析时，就可以根据机构组成情况的不同，依次调用这些子程序，从而完成对整个机构的运动分析，这就是杆组法的基本思路。杆组法的主要特点：不要针对每一个具体的机构列方程，而是对组成机构的杆组列方程（杆组的类型是有限的，可先编好子程序）。所以此法具有较大的通用性和适用性，且简便。但采用此法的前提条件是要利用计算机。二）杆组法运动分析的数学模型1、构件（或原动件）的运动分析——同一构件上点的运动分析已知该构件上一点的运动参数（位置、速度、加速度），构件的角位置、角速度、角加速度，以及已知点到所求点的距离。求同一构件上任意点的位置、速度、加速度。如图b-1所示的构件AB，已知：运动副A的（xA、yA、、、、）和构件AB的（、、）及AB的长度Li。求B点的（xB、yB、、、、）。AxAyAxAyiψiψiψ图b-1BxByBxBy▲这种运动分析常用于求解原动件（Ⅰ级机构）、连杆和摇杆上点的运动。图b-11）位置分析：=+BriLAr投影：xB=xA+LicosyB=yA+Lisiniψiψ2）速度、加速度分析：上式对t求导，得：=-Lisin=+LicosBxAxiψByAyiψiψiψ对时间t再求导，得：=？=？BxBy若A为固定转动副，即xA、yA为常数，则、、、为0，此时构件AB和机架组成Ⅰ级机构（即AB为原动件）。AxAyAxAy2、杆组的运动分析在生产实际中，应用最多的是Ⅱ级机构，Ⅲ、Ⅳ级机构应用较少，在此只讨论Ⅱ级机构的运动分析问题。Ⅱ级机构是Ⅰ级机构+Ⅱ级杆组组成的，Ⅱ级杆组只有5种基本类型。下面分别对各种杆组进行分析。Bxiψ1）RRRⅡ级杆组：由2个外转动副、1个内转动副和2个构件组成如图b-2所示，已知杆长Li、Lj，两个外运动副B、D的位置（xB、yB、xD、yD），速度（、、、）和加速度（、、、）。ByDxDyBxByDxDy求：内运动副C的位置（xC、yC）、速度（、）、加速度（、）以及两杆的角位置（、）、角速度（、）、角加速度（、）。图b-2CyCxCxCyiψjψjψiψjψiψ①位置方程：=+=+BriLCrDrjL投影：xC=xB+Licos=xD+Ljcos（*）yC=yB+Lisin=yD+Ljsin（*）jψiψjψ解得：、=？iψjψ注意：有两解，根号前的“±”号与初始安装方式有关，B、C、D三副顺时针排列取“+”，逆时针排列取“-”。图b-2②速度方程：对(*)式求导，得：、=？iψiψjψ则C点的速度：=-Lisin=+LicosCxCyBxByiψiψiψiψ③加速度方程：对(*)式两次求导，得：、=？iψjψ则C点的加速度：=-Lisin-2Licos=+Licos-2LisinBxByCxCyiψiψiψiψiψiψiψiψ2）RRPⅡ级杆组：由1个外转动副、1个内转动副、1个外移动副和2个构件组成如图b-3，已知：Li、Lj（Lj杆垂直导路），外转动副B的参数（xB、yB、、、、），滑块导路方向角和计算位移s时参考点K的位置（xK、yK），若导路运动（如导杆），还必须给出K点和导路的运动参数（xK、yK、、、、、、、）。求：内副C的运动参数（xC、yC、、、、）。BxByBxByKxKyKxKyjψjψCxCyCxCy图b-3jψ①位置方程：iψ=+=++BriLCrKrs投影：xC=xB+Licos=xK+scos-Ljcos（**）yC=yB+Lisin=yK+ssin+Ljsin（**）jψiψjψ消去s，解得：=？iψ图b-3jLjψjψ代入（**）得：xC、yC、s=？则滑块D点的位置方程：xD=xK+scos=？yD=yK+ssin=?jψjψ②速度方程：对(**)式求导，得：、=？iψs则C点的速度：=-Lisin=+LicosCxCyBxByiψiψiψiψ外副D点的速度：=+cos-ssin=+sin+scosDxDyKxKyssjψjψjψjψjψjψiψxC=xB+Licos=xK+scos-Ljcos（**）yC=yB+Lisin=yK+ssin+Ljsin（**）jψiψjψjψjψ图b-3③加速度方程：对(**)式两次求导，得：、=？iψs则C点的加速度：=-Lisin-2Licos=+Licos-2LisinBxByCxCyiψiψiψiψiψiψiψiψiψxC=xB+Licos=xK+scos-Ljcos（**）yC=yB+Lisin=yK+ssin+Ljsin（**）jψiψjψjψjψDxKxKyDyssjψjψjψjψjψjψ外副D点的加速度：=+cos-ssin-s2cos-2sin=+sin+scos-s2sin+2cosjψjψjψjψssjψjψjψjψ3）RPRⅡ级杆组：由2个外转动副、1个内移动副和2个构件组成如图b-4，已知：Li、Lj、Lk（Li、Lk杆垂直导路），两外转动副B、D的参数（xB、yB、、、、、xD、yD、、、、）。求：内副C的运动参数（xC、yC、、、、），构件上E点的参数（xE、yE、、、、），构件Lj的参数（、、）。BxByBxByDxDyDxDyCxCyCxCyExEyExEyjψjψjψ图b-4①位置方程：=+=++BriLCrDrs投影：xC=xB-Licos=xD+Lksin+scos（***）yC=yB-Lisin=yD-Lkcos+ssin（***）jψjψ解得：s、=？kLjψjψ代入（***）得：xC、yC=？导杆上E点的位置方程：xE=xC+（Lj-s）cos=？yE=yC+（Lj-s）sin=?jψjψjψjψjψ图b-4xC=xB-Licos=xD+Lksin+scos（***）yC=yB-Lisin=yD-Lkcos+ssin（***）jψjψjψjψjψjψ②速度方程：对(***)式求导，得：、=？s则C点的速度：=-Lisin=-LicosCxCyBxByjψjψjψjψjψE点的速度：=-(Ljsin-Lkcos)=+(Ljcos+Lksin)ExEyDxDyjψjψjψjψjψjψ图b-4xC=xB-Licos=xD+Lksin+scos（***）yC=yB-Lisin=yD-Lkcos+ssin（***）jψjψjψjψjψjψ③加速度方程：对(***)式两次求导，得：、=？s则C点的加速度：=-Licos+2Lisin=-Lisin-2LicosBxByCxCyjψjψjψjψjψjψjψjψjψE点的加速度：=-(Ljsin-Lkcos)-2(Ljcos+Lksin)=+(Ljcos+Lksin)-2(Ljsin-Lkcos)ExEyDxDyjψjψjψjψjψjψjψjψjψjψjψjψ图b-44）RPPⅡ级杆组：由1个外转动副、1个内移动副、1个外移动副和2个构件组成如图b-5，已知：BC长为Li（B、C、D顺时针为“+”，逆时针为“-”），外转动副B的参数（xB、yB、、、、），参考点K（xK、yK、、