普通高中课程标准实验教科书选修2―1空间向量与立体几何

普通高中课程标准实验教科书选修2—1空间向量与立体几何教学指导意见解读浙江省黄岩中学金克勤[e-mail]空间向量章首语空间向量在理论研究和解决实际问题方面有广泛应用，它成为解决立体几何中的大量问题的有力工具。在本章我们把平面向量推广到空间向量,学习空间向量的概念、运算、坐标表示，并利用空间向量的运算解决有关立体几何问题。空间向量与平面向量没有本质区别,它们的运算:加法、减法、数乘、数量积也完全相同。一、内容与要求本章共分两节：3．1空间向量及其运算3．2立体几何中的向量方法二、地位与作用1.本章是必修数学4“平面向量”在空间的推广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续。2.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。3.进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。三、主要内容3.1空间向量及其运算空间向量及其加减法运算空间向量数乘运算（直线的方向向量,共面向量定理）空间向量的数量积运算空间向量的正交分解及其坐标表示（空间向量基本定理）空间向量运算的坐标表示三、主要内容3.2立体几何中的向量方法平面的法向量空间线面关系的判定空间角的计算立体几何中的向量方法（三部曲）1.向量表示2.向量运算3.回归几何知识结构空间向量的定义用空间向量表示点、直线、平面等元素空间向量运算的几何意义空间向量运算的坐标表示建立空间图形与空间向量在联系空间向量的应用空间向量的运算线性运算和数量积运算空间向量及其运算知识结构实际背景线性运算数量积坐标表示基本定理空间向量的概念简单应用3.1节的重点与难点“空间向量及其运算”是本章的基础，这一节的重点是空间向量的基本概念和基本运算、空间向量的基本定理。难点是空间向量的基本定理。立体几何中的向量方法知识结构点、直线、平面的位置的向量表示直线、平面间的平行与垂直关系的向量表示立体几何中向量方法的三步曲直线的方向向量与平面的法向量向量方法与坐标方法结合解决立体几何问题直线、平面间角的大小的向量表示3.2节的重点与难点“立体几何中的向量方法”从一个侧面（立体几何）反映了空间向量的应用，同时也是对空间向量的再认识。重点是理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三步曲”）。难点是建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。阅读与思考本章在3.1节“空间向量及其运算”之后安排了一个“阅读与思考“向量概念的推广与应用”，介绍了三维以上的高维向量，并通过例子说明高维向量的应用。它可供学有余力的学生学习。课时分配（12课时）3.1.1空间向量及其加减运算1课时3.1.2空间向量的数乘运算1课时3.1.3空间向量的数量积运算1课时3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1课时3.1.5空间向量运算的坐标表示1课时复习小结1课时3．2立体几何中的向量方法5课时复习小结1课时四、教材解读课程目标空间向量为处理立体几何问题提供了新工具和新方法。通过学习本章，可以使学生在对平面向量已有认识的基础上，进一步学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。学习目标1.经历向量及其运算由二维平面情形向三维空间情形推广的过程。2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3.掌握空间向量的线性运算及其表示。4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线（平行）与垂直。5.理解直线的方向向量与平面的法向量。6.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。7.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理。8.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角等的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。与原大纲教材的比较大纲教材新教材重点立体几何知识空间向量和向量方法空间向量知识对空间向量只是作为解决部分问题的工具强调对向量方法的一般性认识立体几何知识有系统性要求不作系统性要求与原大纲教材的比较原大纲目标表述新课标目标表述1.理解空间向量的概念掌握空间向量的加法、减法和数乘.2.了解空间向量基本定理；理解空间向量的坐标的概念，掌握空间向量运算.3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式.1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.与原大纲教材的比较原大纲目标表述新课标目标表述1.理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影.1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.与原大纲教材的比较原大纲目标表述新课标目标表述2.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.五、教学要求1.注重联系本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。2．体现思想本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是：（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。3.温故知新空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。4.强调通法向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题。这种“三步曲”式的解决问题过程，在数学中具有一般性。三步曲：空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果翻译成相应的几何意义。向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认识。5.螺旋上升必修2中，已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系，当时没有对相关判定定理进行证明，只证明了相关性质定理。本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理等为例，用向量方法对其进行证明，然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理，并引导学生进行尝试。这样可以加强所学前后知识的联系，对空间位置关系提高认识水平。六、内容解析空间向量及其运算1.关于共面向量的定义——平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanarvector）：理解：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。对共面向量的理解要突出“自由向量”的特征，向量与平面平行的概念有别于直线与平面的平行，要帮助学生理解。2.关于共面向量定理——如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数组(x,y)，使p=xa+yb．空间向量共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的．这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p也可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示．3.关于空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使p=xa+yb+zc．发展路线：共线向量定理(一维)→平面向量基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。通过向量分解惟一性定理的推广，引导学生积极主动地探索．目的：为空间向量的坐标表示做准备．注意：“惟一性”的证明要用反证法(了解)．4.关于空间向量的数量积(1)由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同。(2)要正确使用两个向量夹角的符号〈a，b〉。(3)空间向量数量积的几何意义只要求学生了解。(4)空间向量数量积运算律的证明不作要求。a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosa，b的乘积。或者等于b的长度|b|与a在b的方向上的投影|a|·cosa，b的乘积。空间向量数量积的几何意义空间向量数量积运算律（分配律）的说明a·(b+c)=a·b+a·c，对于平面向量cba21ADEOBC因为|b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2|a||b+c|cosθ=|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2所以：a·(b+c)=a·b+a·ca·(b+c)=a·b+a·c，对于空间向量12abcEDACBOD因为|b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2|a|·|b+c|cosθ=|a|·|b|cosθ1+|a|·|c|cosθ2所以a·(b+c)=a·b+a·c代数证明（运算的坐标表示）：设a=x1i+y1j+z1k，b=x2i+y2j+z2k，c=x3i+y3j+z3k则b+c=(x2+x3)i+(y2+y3)j+(z2+z3)k，a·(b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3)=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3又因为：a·b=x1x2+y1y2+z1z2，a·c=x1x3+y1y3+z1z3a·b+a·c=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3所以：a·(b+c)=a·b+a·c立体几何中的向量方法直线的方向向量与平面的法向量如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与垂直关系．平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关系．平面的法向量的计算：（1）待定系数法例如：在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB与BC的中点，求平面B1EF的法向量。FEC1CDABD1A1B1zyxF(a2,a,0)E(a,a2,0)C1CDABD1A1B1baa×b空间线面关系的判定用向量语言（符号语言）描述空间线面关系：平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与1e1⊥n1e1∥n11与2n1∥n2n1⊥n2其中e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别为平面1，2的法向量。空间线面关系的判定：三垂线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理。空间角的计算1．线线角设e1，e2分别为直线l1，l2的方向向量，直线l1，l2所成的角为，则2121coseeeee2e1l2l122.线面角设e为直线l的方向向量，n为平面的法向量，l与平面所成的角为，则．)2πcos(nenelne3．二面角设n1，n2分别为平面1，2的法向量，平面1，2所成的二面角为，则．cos2121eeee21n2n1七、教学建议1.重点是空间向量和向量方法空间向量和向量方法是重点内容，而对于立体几何知识并不作系统安排，