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16矩阵的可对角化212,,,n1-1nn阶矩阵A,若存在n阶可逆矩阵P,使得0PAP=diag()=0称A可以相似对角化,或称A可以对角化。31212112221212,:,,,,,,,,,.,,,,,,2nnnnnnnnKAKAA1-1数域上的n级矩阵能够相似于对角矩阵的充分必要条件是中有n个线性无关的列向量,以及K中有n个数,使得A这时,令P=(),则PAP=diag{定理}.4,,,,,.,nKAKKA0000设是数域上的n级矩阵如果存在中非零向量使得则称是的一个称是A的属于定义A=特征值的一个且特征值特征向量5注意:1.只有方阵才有特征值与特征向量;2.特征向量必须是非零向量,而特征值不一定非零。000,,,,)(),(0).3AkAkkkA00如果是的属于特征值的一个特征向量则A=从而对于任意的kK有A(k=因此k也是的属于特征值的特征向量6综上,可得矩阵的特征值与特征向量的求法:A(1)写出矩阵的特征多项式,它的全部根就是矩阵的全部特征值;AAAI(2)设是矩阵的全部互异的特征值。将的每个互异的特征值分别代入特征方程组,得s,,21AAi7siXAIi,,2,10分别求出它们的基础解系iiliiXXX,,,21这就是特征值所对应的线性无关的特征向量。i8非零线性组合iiililiiiiXkXkXk2211si,,2,1是的属于特征值的全部特征向量,其中为任意常数。Aisi,,2,1ijk9111012()()()()nnnnfxxaxaxaxxxlll--=++++=---LL1110120,,,,.(1)()0,()0.nnnnnxxaxaxaaaaRffn定理:实系数多项式一定有个根(复数域),并且虚根成对出现。即f()=则1,,()nfx2(2)若,是的根,则101212112212131(1)1012(),,(1).kknnnnnknkiiiiiinnnaaaalllllllllllllll----=-??=-+++=+++=-åLLLLLLLLL111012()()()()nnnnfxxaxaxaxxxlll--=++++=---LL11,,,,,.,nKAKKA0000设是数域上的n级矩阵如果存在中非零向量使得则称是的一个称是A的属于定义A=特征值的一个且特征值特征向量如果A是实数域上的矩阵,则A可能没有特征值,从而没有特征向量。如果将A看成复数域上的矩阵,A一定有特征值,其特征向量可能是复向量。12特征值和特征向量的性质设,易见,它的特征多项式是关于的次多项式,不妨设之为nnijaAnnnnnCCCCAIf111013nnnnCCCC1110nnnnnnaaaaaaaaa2122221112115.1.5()fIAll=-=14考虑上式左端行列式的展开式,它除了nnaaa2211这一项含有个形如的因式外,其余各项最多含有个这样的因式,比较(5.1.5)两端的系数,得niia2n10C7.1.522111nnaaaC15在式(5.1.5)中,令,得0ACnn18.1.5另外,根据多项式理论,次多项式在复数域上有个根,不妨设,又由于的首项系数,于是有nnAIf12,,,nlllLf10C16nnnnnNAIf21112119.1.5比较和,得5.1.59.1.5nC11nnnC21117niiniiinaAtrA1121)(21()fIAll=-=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211181212,,1.kkiiiiiiAkn对于n级矩阵A子式A称为的k级主子式,,||,,1.nkAAknnn-1nk命题:设A是数域K上的n级矩阵则A的特征多项式|I-A|是的n次多项式,的系数是1,的系数是-tr(A)常数项为(-1)的系数为的所有级主子式的和乘以(-1)19若都是矩阵的属于特征值的特征向量,则其非线性组合sXXX,,,2103ssXkXkXk2211并可证明,的属于特征值的全部特征向量,再添加零向量,便可以组成一个子空间,称之为的属于特征值的特征子空间,记为。不难看出,正是特征方程组的解空间。A0A00V0V00XAIA也是A的属于特征值的特征向量。0它的维数是多少?20212,,,,,AAA1设是的不同特征值分别属于其特征向量即1212.,0,.AkkkkA则不是的特征向量更一般若不是的特征向量21.,,,,,,,.,,,,,,,121212121线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理mmmmppppppmA证明使设有常数mxxx,,,21.02211mmpxpxpx则,02211mmpxpxpxA即,0222111mmmpxpxpx类推之,有.0222111mmkmkkpxpxpx1,,2,1mk22把上列各式合写成矩阵形式,得11221112211111,,,mmmmmmmpxpxpx0,,0,0于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i,0,,0,0,,,2211mmpxpxpx.,,2,10mjpxjj即,0jp但.,,2,10mjxj故.,,,21线性无关所以向量组mppp23注意1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的.2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.24即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为,,,2121AxxAxxAx21,xx21,021x,021由于,0x则.与定义矛盾25.3是的特征值(这里是关于的多项式函数);ffAf若是矩阵的特征值,是的属于特征值的特征向量,则有AA4X.2是矩阵的特征值(其中为正整数);mAmm是矩阵的特征值(其中为任意常数);kAkk.126.4当可逆时,是的特征值;并且仍是矩阵的分别对应于特征值的特征向量;A11AX1,,,AAfAkAm1,,,fkm27若~,则..5BABIAI由~可知,存在可逆矩阵,使得ABPBAPP1于是AIPAIPPAIPAPPIBI111286,若~,则矩阵,有相同的特征值。ABABm例,设A是n阶幂零矩阵,即存在m使得A=0,求A的特征值。2例,设A是n阶矩阵,满足A=A,求A的特征值.29,设A,B分别mn,nm是矩阵,证明:AB与BA有相同的非零例特征值.,设A,B分别是mn,nm矩阵,证明:I-AB可逆当且仅当I-B例A可逆.,设A,B是n阶矩阵,满足r(A)+r(B)n.证明:A与B有公共的特征值与例特征向量.30矩阵可对角化的条件12,,,n1-1nn阶矩阵A,若存在n阶可逆矩阵P,使得0PAP=diag()=0称A可以相似对角化,或称A可以对角化。311212112221212,:,,,,,,,,,.,,,,,,2nnnnnnnnKAKAA1-1数域上的n级矩阵能够相似于对角矩阵的充分必要条件是中有n个线性无关的列向量,以及K中有n个数,使得A这时,令P=(),则PAP=diag{定理}.322,KA数域上的n级矩阵可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的定理特征向量.12121212,,,,,,,,,,,,nnnn-1如果A可以对角化,则存在n个线性无关特征向量,令P=(),则PAP=diag{}.对角矩阵diag{}称为A的除了对角线上元素的排列顺序外,A的相似标准形相似标准形,是唯一的.33[][]1121212,,,,,,000000nnnAaaaaaalll-骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç桫LLLLMMMMLAPP1ndiag,,,211212:{,,,},,,nndiag中主对角元的顺序与P=[]特征向量注意相对应.34.,,,,,,,.,,,,,,,121212121线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理mmmmppppppmAn阶方阵是否可以对角化,就转化为阶方阵是否有个线性无关的特征向量的问题。35如果阶矩阵的个特征值互不相等,则与对角阵相似.推论nAAn定理n阶方阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。361212121212,,,,,,,,,,,,,stst12,设是n阶方阵A的两个不同的特征值,是A的属于的线性无关的特征向量,是A的属于的线性无关的特征向量则,定理线性无关。371212121212111222,,,,()0,.,,,,,,,,,,,,.rrrrjjjjsssIAXsj设,,是n级矩阵A的所有不同的特征值,是齐次线性方程组的一个基础解系即属于线性无关的特征向量则A的特征向量组一定线性无关.38,数域K上n级矩阵A可对角化的充分必要条件是:A的属于不同特征值的特征子空间的维数定理之和等于n.39二相似对角化的方法求出的全部互异的特征值1A前面讨论了阶矩阵可相似对角化的条件,下面给出求相似对角阵及变换矩阵的方法和步骤:ns,,,212对每个特征值,求特征矩阵的秩,并判断的特征维数之和是否为n.iAIiiAIrnqii40的一组基础解系0XAIi3当可以对角化时,对每个特征值,求方程组AiiiqiiXXX,,,21si,,2,14令ssqssqXXXXXXP,,,,,,,,21112111则有ssdiagAPP,,,,,,11141例1判断下列实矩阵能否化为对角阵?242422221)1(A201335212)2(A解(1)IAl-由7220242422221.7,2321得4204420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系.110,10221得方程组代入将,02121IA43求得基础解系2,2,13T.,3化可对角因而个线性无关的特征向量有即AA,同理,0,73xIA由对1231(,,),200020003PAPP令则1321(,,),200030002PAPP令则44212533102IAl
本文标题:丘维声高等代数5-1-3
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