勾股定理应用整理(2017的整理)

勾股定理的应用a2+b2=c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方acb勾股弦勾股定理a2=c2-b2b2=c2-a2ACB90cm120cm?练一练(数学就在我们身边)持竿进城（课本P25例1）摆梯子（例2）《九章算术》专设勾股章来研究勾股问题，共24个问题．按性质可分为三组，其中第一组的14个问题可以直接利用勾股定理来解决．很多是具有历史地位的世界著名算题．“引葭赴岸”“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题:“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”探索(古题鉴赏)有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？题意是：BC为芦苇长，AB为水深，AC为池中心点距岸边的距离。解：如图5xX+1设AB＝x尺，则BC＝（X＋1）尺，根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2即：(x+1)2-x2=52解得：x＝12所以芦苇长为12＋1＝13（尺）答:水深为12尺,芦苇长为13尺。平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？BCAH0.52?┓x盛开的水莲印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：《九章算术》中的折竹问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根6尺，试问折断处离地面多高？ABC设：折断处离地面高x尺6x10-x下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段.有一把卷尺你能想办法测量出旗杆的高度吗?请你与同伴交流设计方案?旗杆有多高小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？ABC5xx+1如图，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高20m，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鱼（即E点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼，结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆底部距鱼处的距离各是多少？ADCEB一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？5㎝12㎝5㎝？1３㎝吸管长１８ｃｍ（1）吸管的长度如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是．8㎝6㎝10㎝？10㎝？如图是一个棱长为10cm的正方体盒子，小明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？ABEDCHFG如图是一个40cm×30cm×120cm的长方体空盒子。小明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？DF3040120ACEBGHABAB如图，一圆柱高8cm，地面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路程是多少？（2）箱壁上的最短距离在图中，如果在正方体箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？A.B.在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到G处，至少要爬多远？CDA.G.4030120FBEH如图：A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受到台风影响的区域。（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城受到这次台风影响有多长时间？北东·BAF与方位相关练习：如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m8m2m8mABC如右图，每个小正方形的边长为1，求四边形ABCD的面积。111155152412114222214.5ABCDS四边形不规则图形的面积在数轴上表示的点？172217=1+16=1+4在数轴上表示二次根数在数轴上表示的点？7227=169=43(4)(3)(2)小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边为a,b，求ab=?ab=6赵爽弦图(4)(3)(2)变式一：小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边为a,b，求(a+b)2=?(a+b)2=25(4)(3)(2)变式二、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边为a,b，求直角三角形的周长等于多少？=5+13周长用方程思想解决图形折叠问题方程思想直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。文字语言图形语言解：如图：设AB=xm,则AC=x+0.5，在直角三角形ABC中：x2+1.52=(x+0.5)2解得：x=2答：河水深2米。符号语言已知：求：折叠三角形例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．ACDBE第8题图Ｄx6x8-x46例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE例3：三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积ABCDADCDCAD1E折叠四边形例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求1.CF2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X例2：折叠矩形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长。DAGBCE例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。ABCDEFA1G提示：先证明正三角形AA1B例2：矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE例4：边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的X轴和Y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。OCBAB1D123E如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，AD=10，AB=8,求DE的长。xx10-x8(10-x)2=x2+82x=1.8变式：将矩形ABCD折叠，使点D落BC边上点D’处，折痕为AE，AD=8，AD=4,求EC的长。x8-x8-x1064(8-x)2=x2+42x=3走进生活（1）小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。买最长的吧！快点回家，好用它凉衣服。糟糕，太长了，放不进去。如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB≈3米走进生活（2）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水，已知A、B到河边的距离分别为AC=3kmM,并且CD=10Km.问：水泵站建立在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中标出水泵站P的位置。102AB变式：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水，已知A、B到河边的距离分别为AC=3kmM,并且CD=10Km.问：如果要求水泵站到A、B两村的距离相等，则水泵站应该建在什么位置？10-xx(10-x)2+32=x2+72x=3小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？走进生活（3）在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。————拉普拉斯