2018年初中数学中考名师面对面专题指导：2018年初中数学中考名师面对面专题指导8：动态几何类问题

2018年初中数学中考名师面对面专题指导第八讲动态几何类问题（一）考点解析：所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．动态几何问题有两个显著特点：一是“动态”，常以图形或图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合．解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻的图形，想像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决．（二）考点训练考点1：单动点问题【典型例题】：（2017山东泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN•cos∠N=2×=，故答案为：．变式训练：（2017山东烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．方法归纳总结：从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明．考点2：双动点问题【典型例题】：（2017山东泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【考点】H7：二次函数的最值．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC==6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故选C．【变式训练】：（2017甘肃天水）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，BH=AH=2，则BC=2BH=4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面积公式得到y=x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4，DQ=CQ=（8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．【解答】解：作AH⊥BC于H，∵AB=AC=4cm，∴BH=CH，∵∠B=30°，∴AH=AB=2，BH=AH=2，∴BC=2BH=4，∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，∴y=•x•x=x2，当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x），∴y=•（8﹣x）•4=﹣x+8，综上所述，y=．故选D．方法归纳总结：从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明．考点3：线动问题研究【典型例题】：(2017湖北咸宁)如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA=2；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为；其中正确的是①②③（把你认为正确结论的序号都填上）．【考点】KY：三角形综合题．【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；③如图2，根据等腰三角形三线合一可知：AB⊥OC；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC==2，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=2；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，同理取AB的中点E，则OE=CE，∵AB平分CO，∴OF=CF，∴AB⊥OC，所以③正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：=π．所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②③；故答案为：①②③．方法归纳总结：按线动的位置进行分类，画出各状态图形，利用这些等量关系转化为方程来解决．考点4：面动问题研究【典型例题】：(2017湖北咸宁)如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为（2，2）．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标．【分析】将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2017次时，点A所在的位置就是原F点所在的位置．【解答】解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的．当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．连接OF，过点F作FH⊥x轴，垂足为H；由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），∴△OEF是等边三角形，∴OF=EF=4，∴F（2，2），即旋转2017后点A的坐标是（2，2），故答案是：（2，2）．【变式训练】：(2017湖北襄阳)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）①证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2=CE•CF，根据等腰直角三角形的性质得到CD=AB，于是得到AB2=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=2，推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到=2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE与△DCF中，，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF；（2）解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴，即CD2=CE•CF，∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴CD=AB，∴AB2=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，则∠DGN=∠E