三角形的内切圆

第2章圆2.5.1三角形的内切圆1、确定圆的条件是什么？1.圆心与半径2、叙述角平线的性质与判定性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心ACBO2.不在同一直线上的三点想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板,应当怎样剪?如图,为了使圆形纸板的最大,这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近.·CABlCAB由此猜想:这个圆应当与三角形的三条边都相________.切情境引入因此圆心O是∠A的___________与∠B的_________的_____点.与三角形的三条边都相切的圆存在吗?如果存在,那么如何画出这样的圆?⑴如果与△ABC的三条边都相切,那么圆心O到三条边的距离都等于_____,从而这些距离相等.我们已经知道,到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上,半径角平分线交·CABl角平分线OM③以点O为圆心,OM为半径作圆.⑵如何画一个圆与三角形的三条边都相切?如图,已知△ABC.①作∠A,∠B的平分线AD,BE,它们相交于点O;②过点O作AB的垂线,垂足为M.圆O就是所求的圆．BDM·OE求作与△ABC的各边都相切的圆.作法：这样的圆可以作出几个?为什么?.∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.三角形与圆的位置关系ABCI●┓EF从而圆心O在△ABC的每个内角的_________上,三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心,这个三角形叫作圆的外切三角形.设点O是△ABC的内心,由于AB,BC,AC都与圆O相切,因此圆心O到AB,BC,AC的距离都等于____半径平分线CAB·O．o外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形内切圆．o内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC辨析1.一个三角形有且只有一个外接圆；一个三角形有且只有一个内切圆2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个内接三角形4.三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点；它到三角形三边的距离相等。3.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离都相等。例6△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数。ABCO解：∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°∵⊙O是△ABC的内切圆∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线即∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°（2）若∠A=80°，则∠BOC=度。（3）若∠BOC=100°，则∠A=度。解:13020（1）∵点O是△ABC的内心，∴∠BOC=180°－(∠1＋∠3)=180°－(25°＋35°)练习如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO=120°)1(324同理∠3=∠4=∠ACB=70°=35°∴∠1=∠2=∠ABC=50°=25°理由：∵点O是△ABC的内心，∴∠1=∠ABC，∠3=∠ACB21=（180°－∠A）21=90°+∠A21=90°－∠A21答：∠BOC=90°+∠A21试探索：∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。ABCO)1(324在△OBC中，∠BOC=180°－（∠1＋∠3）∴∠1＋∠3=（∠ABC+∠ACB）2121=180°－（90°－∠A）21已知等边三角形ABC的边长为a，求它的内切圆的半径·BDEFOCA4.如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF21212121＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝2sa＋b＋c三角形的内切圆的有关计算结论·ABCEDFO5.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。点评1.本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法.2.通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。3.学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，4.利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。知识梳理