三角形的诱导公式及图像

三角形的诱导公式角的始边与终边零角（始边）终边终边正角负角终边相同的角：𝜷=𝒌·𝟑𝟔𝟎°+𝜶=𝟐𝒌𝝅+𝜶(𝒌∈𝒁)象限角：将角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称之为第几象限角。弧度制弧度的角。用符号rad表示，读作弧度。rlSrlrl21||扇，，180°（弧度）1180001745°弧度.118057305718弧度°.'任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：xyOP(x,y)（1）正弦sinα＝（2）余弦cosα＝（3）正切tanα＝xyyx终边相同的角的同一三角函数值相等)(sin)2sin(Zkk)(cos)2cos(Zkk)(tan)2tan(Zkk（公式一）同角三角函数的关系平方关系：𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶=𝟏.商数关系：𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶=𝐭𝐚𝐧𝜶.（𝜶≠𝒌𝝅+𝝅𝟐,𝒌∈𝒁）互余关系：𝐬𝐢𝐧𝜶=𝐜𝐨𝐬（𝟗𝟎°−𝜶），𝐜𝐨𝐬𝜶=𝐬𝐢𝐧（𝟗𝟎°−𝜶）.α0𝝅𝟔𝝅𝟒𝝅𝟑𝝅𝟐𝝅𝟑𝝅𝟐2sinα0𝟏𝟐𝟐𝟐𝟑𝟐10-10cosα1𝟑𝟐𝟐𝟐𝟏𝟐0-101tanα0𝟑𝟑1𝟑不存在0不存在0特殊角的三角函数值三角函数的诱导公式形如𝝅+𝜶的三角函数值与𝜶的三角函数值之间的关系单位圆内：𝒓=𝟏𝐬𝐢𝐧𝜶=𝒚𝐜𝐨𝐬𝜶=𝒙𝐭𝐚𝐧𝜶=𝒚𝒙𝐬𝐢𝐧(𝝅+𝜶)=−𝐲𝐜𝐨𝐬(𝝅+𝜶)=−𝐱𝐭𝐚𝐧(𝝅+𝜶)=−𝒚−𝒙=𝒚𝒙𝐬𝐢𝐧(𝝅+𝜶)=−𝐬𝐢𝐧𝜶𝐜𝐨𝐬(𝝅+𝜶)=−𝐜𝐨𝐬𝜶𝐭𝐚𝐧(𝝅+𝜶)=𝐭𝐚𝐧𝜶（公式二）三角函数的诱导公式单位圆内：𝒓=𝟏𝐬𝐢𝐧𝜶=𝒚𝐜𝐨𝐬𝜶=𝒙𝐭𝐚𝐧𝜶=𝒚𝒙𝐬𝐢𝐧(−𝜶)=−𝐲𝐜𝐨𝐬(−𝜶)=𝐱𝐭𝐚𝐧(−𝜶)=−𝒚𝒙=−𝒚𝒙𝐬𝐢𝐧(−𝜶)=−𝐬𝐢𝐧𝜶𝐜𝐨𝐬(−𝜶)=𝐜𝐨𝐬𝜶𝐭𝐚𝐧(−𝜶)=−𝐭𝐚𝐧𝜶（公式三）三角函数的诱导公式单位圆内：𝒓=𝟏𝐬𝐢𝐧𝜶=𝒚𝐜𝐨𝐬𝜶=𝒙𝐭𝐚𝐧𝜶=𝒚𝒙𝐬𝐢𝐧(𝝅−𝜶)=𝐲𝐜𝐨𝐬(𝝅−𝜶)=−𝐱𝐭𝐚𝐧(𝝅−𝜶)=𝒚−𝒙=−𝒚𝒙𝐬𝐢𝐧(𝝅−𝜶)=𝐬𝐢𝐧𝜶𝐜𝐨𝐬(𝝅−𝜶)=−𝐜𝐨𝐬𝜶𝐭𝐚𝐧(𝝅−𝜶)=−𝐭𝐚𝐧𝜶（公式四）三角函数的诱导公式(x,y)P′(y,x)sinα.α)2πcos(cosα,α)2πsin(:公式五sinα.α)2πcos(cosα,α)2πsin(:公式六号。成锐角时原函数值的符把α看函数值，前面加上一个（正弦）值，分别等于α的余弦α的正弦（余弦）函数2π三角函数的诱导公式α.α)23πcos(cosα,α)23πsin(:公式七sinα.α)23πcos(cosα,α)23πsin(:公式八同理可推：三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”口诀记忆：1、确定函数名称①“奇、偶”指的是𝜋2的倍数的奇偶；②“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦2、确定符号①把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看k·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。②一全正；二正弦；三两切；四余弦（第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。）【例题】为什么sin（3π/2+α）=－cosα第三步：判断结果前是否需要添上负号（符号看象限），此时我们默认把角α看做锐角，然后去看3π/2+α是第几象限角，我们知道3π/2是270度，在第三象限和第四象限的交线上，在此基础上再加上一个锐角α后，整体3π/2+α会处在第四象限了，根据第四象限只有余弦是正的，我们现在的是正弦sin（3π/2+α），所以需在结果cosα前添上负号。①sin3𝜋2+𝛼=sin3·𝜋2±𝛼第一步：把式子化成k·(π/2)±α这样的统一形式,所以等号左边的sin（3π/2+α）=sin[3·（π/2）+α]；第二步：𝜋2的系数为3，是奇数，要变函数名称，𝑠𝑖𝑛变成𝑐𝑜𝑠.等号右边直接写cos𝛼②sin3·𝜋2±𝛼=（）cos𝛼③sin3𝜋2+𝛼=sin3·𝜋2±𝛼练一练𝟏、𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎𝟎°=（）[解析]𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎𝟎°=cos（2𝜋−60°）=cos60°=12三角函数的图像与性质1.4=sinx，x∈[0,2π]的图象yxo1-122322(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五个关键点—(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五点法xsinx22302010-10正弦函数图像/2o-π2-π3-/2π2π3π4xy1-1函数y=sinx,xR的图象正弦曲线y=sinxx[0,2]y=sinxxR即：sin(x+2k)=sinx,kZ终边相同角的三角函数值相等)()2(xfkxf利用图象平移余弦函数图像x6yo--12345-2-3-41余弦函数的图象正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同五点法作图例题如何画出函数𝐲=𝐬𝐢𝐧𝒙，𝒙∈𝑹的简图1-12xyo2322232x0sinx0-101001010xysin2232解：按关键点列表描点并将它们用光滑曲线连接起来Rxxy,siny=sinx，x[0,2]函数图像的定义域和值域观察图像，说出该函数图像的定义域和值域正弦函数图像余弦函数图像定义域：−∞，+∞值域：−𝟏，𝟏当𝒙=𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅(𝒌∈𝒁)时，𝒚𝒎𝒂𝒙=𝟏当𝒙=−𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅(𝒌∈𝒁)时，𝒚𝒎𝒊𝒏=−𝟏定义域：−∞，+∞值域：−𝟏，𝟏当𝒙=𝟐𝒌𝝅(𝒌∈𝒁)时，𝒚𝒎𝒂𝒙=𝟏当𝒙=𝝅+𝟐𝒌𝝅(𝒌∈𝒁)时，𝒚𝒎𝒊𝒏=−𝟏函数图像的定义域和值域正切函数定义域：𝒙|𝒙≠𝒌𝝅+𝝅𝟐，𝒌∈𝒁值域：−∞，+∞定义域问题求下列函数的定义域：y＝xcos11求y＝的定义域xsin值域问题（1）函数的最小值是22cos()()363yxx≤≤xxycos2cos2（2）求值域函数图像的性质周期性是周期函数，最小正周期𝑇=2𝜋𝑇=𝜋奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称奇函数，图象关于原点对称对称轴)(,2Zkkx)(,Zkkx对称中心)()0,(Zkk)()0,2(Zkk(,0)()2kkZ正弦余弦正切函数图像的性质单调性正弦余弦正切在−𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅,𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅,𝒌𝝐𝒁上是单调递增函数在𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅,𝟑𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅,𝒌𝝐𝒁上是单调递减函数在𝝅+𝟐𝒌𝝅,𝟐𝝅+𝟐𝒌𝝅,𝒌𝝐𝒁上是单调递增函数在𝟐𝒌𝝅,𝝅+𝟐𝒌𝝅,𝒌𝝐𝒁上是单调递减函数在−𝝅𝟐+𝒌𝝅,𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅,𝒌𝝐𝒁上是单调递增函数谢谢观看THANKS