圆中常用的作辅助线的八种方法

阶段方法技巧训练（一）专训2圆中常用的作辅助线的八种方法习题课在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．1方法作半径，巧用同圆的半径相等1．如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4cm，求该半圆的半径．如图，连接OA，OF.设OA＝OF＝rcm，AB＝acm.在Rt△OAB中，r2＝＋a2，在Rt△OEF中，r2＝42＋，∴＋a2＝16＋16＋4a＋.解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．∴r2＝＋82＝80.∴r1＝4，r2＝－4(舍去)．即该半圆的半径为4cm.解：22a骣÷ç÷ç÷ç桫242a骣÷ç÷ç÷ç桫+24a24a282骣÷ç÷ç÷ç桫555在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2方法连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.如图，连接AD，BD.∵∠DAC、∠DBC是DC所对的圆周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中，∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.证明：90.DAPDBHDPADHBDPDHì行ïïïï行?íïïïïî＝，＝＝，＝︵本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，为证两三角形全等创造了条件．3作直径，巧用直径所对的圆周角是直角方法3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(1)如图，过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.∴∠BAC＝∠ACE.∴BC＝AE.∴BC＝AE.在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，∴AD2＋BC2＝4R2.证明：︵︵(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(ADBC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(2)如图，过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(ADBC)，∴AD＝5，BC＝1.解：由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝AE＝BC＝.即点O到AD的距离为.26212121212本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4证切线时辅助线作法的应用方法4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．CD与⊙O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切解：5遇弦加弦心距或半径方法5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3B．4C．3D．422C同类变式6．【中考·贵港】如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2，OH＝1，则∠APB的度数是________．36遇直径巧加直径所对的圆周角方法7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(1)如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形．证明：(2)求DE的长．(2)如图，连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．∴DE＝AB＝×2＝1.解：12127遇切线巧作过切点的半径方法8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(1)如图，连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA.即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．证明：(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(2)如图，连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线．解：3又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1，∴⊙O的半径为1.8巧添辅助线计算阴影部分的面积方法9．【中考·自贡】如图所示，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6cm.3(1)求证：AC是⊙O的切线；(1)如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°.即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．证明：(2)求由弦CD，BD与BC所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)︵(2)∵OE⊥DB，∴EB＝DB＝3cm.在Rt△EOB中，∵∠OBD＝30°，∴OE＝OB.∵EB＝3cm，∴由勾股定理可求得OB＝6cm.解：312123又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S阴影＝S扇形OCB＝π·62＝6π(cm2)．60360