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第6讲数量场的方向导数和梯度(2)张元中中国石油大学(北京)地球物理与信息工程学院《矢量分析与场论》主要内容1.梯度的性质2.梯度的运算公式3.梯度的应用教材:第2章,第2节《矢量分析与场论》1.梯度的性质梯度由数量场中数量的分布决定,与坐标系的选择无关。)(Mu)max(lugradu梯度性质1:梯度的大小是点各种方向中最大的方向导数。0Ml),,(zyxu0M梯度是一个矢量,是数量场在点的固有特性,与方向无关。cos)(gradulgradulu梯度性质2:数量场在点处的梯度垂直于该点的等值面,且指向函数增大的方向。)(Mu0M)(Mu1.梯度的性质梯度性质3:梯度的方向与等值面的法线重合,且指向增大的方向,大小是方向的方向导数。ngraduunuu梯度性质4:梯度的方向,即等值面的法线,是变化最快的方向,是下降最快的方向。graduuugradu梯度性质5:数量场在方向的方向导数是梯度在该方向的投影。即:)(Mullgradulu把数量场中的每一点的梯度与场中之点一一对应起来,得到一个矢量场,称为由此数量场产生的梯度场。梯度是用一个矢量场来描述一个数量场。1.梯度的性质梯度的物理意义:标量场在空间变化最快的方向和大小(描述数量场的非均质性)。1P'2P2P''2P1sdsd2sd等值面1等值面2sdsdsdsd21,21,,maxdsdfdsdfdsdfdsdf1.梯度的性质rxzyxxxr222证:例3:设为点的矢径的模,试证明:222zyxr),,(zyxMrrrrgradrryyrrzzrrrrkrzjryirxkzrjyrixrgradr1.梯度的性质证:rrrgradr矢量模的梯度是该矢量的单位矢量。可以进一步推广为:rrfrrrfrgradf)(1.梯度的性质例3:设为点的矢径的模,试证明:222zyxr),,(zyxMr解:kzujyuixugradu例4:求数量场在点处的梯度及其在矢量方向的方向导数。kjil2232yzxyu)1,1,2(Mkyzjzxyiy2323)2(kjigraduM33方向的单位矢量为:lkjilll3132321.梯度的性质解:31)31()3(32)3(321][lgraduugradluMlM1.梯度的性质例4:求数量场在点处的梯度及其在矢量方向的方向导数。kjil2232yzxyu)1,1,2(M解:kczxbyjbzaxyixczaygradu)2()2()3(3222例5:求,使在处沿平行于轴方向的方向导数取最大值为32。322xczbyzaxyu)1,2,1(MOZcba,,只要常数之值,使得在处的梯度平行于轴且模为32。cba,,MOZkcbjbaicagraduM)22()4()34(Mgradu欲使平行轴且模为32,则应有:OZ3222,04,034cbbaca4,12,3cba或4,12,3cba1.梯度的性质解:例6:求曲面在其点处的切平面方程。74322xxyxz)2,-1,1(MMMkxzjxiyzgradu43)432(2kji837所给曲面,可以视为数量场取值为7时的等值面,其上处函数的梯度,就是曲面在该点处的法矢量。Mxxyxzu4322于是所求的切平面方程为:0)2(8)1(3)1(7zyx26837zyx1.梯度的性质2.梯度运算公式(1)gradvgraduvugrad)((2)(7)(6)(5)(3)(4)0gradcC为常数cgradugradcuC为常数vgraduugradvuvgrad)()(1)(2ugradvvgraduvvugradgraduufugradf)()('gradvvfgraduufvugradf),(2.梯度运算公式解:kajaiaazyx例:已知矢径和常矢,求。kzjyixr)(ragradzayaxarazyxkajaiaragradzyx)(进一步指出:数量场的等位面是垂直于矢量的平面,即有方程:raa0zayaxazyx2.梯度运算公式解:gradu例:求数量场的梯度。)arcsin(22yxzu222222223/222)(1)(zyxyxxzyxzyxxzxu22222)(zyxyxyzyu2222222211)(1zyxyxzyxzu)(12222222kjyxyziyxxzzyxgradu3.梯度的应用解:例:设有位于坐标原点的点电荷,在空间任何一点处产生的电位为:,,试求电位的梯度。kzjyixrqrqv4),,(zyxMrrv)(4)4(2rgradrqrqgradgradvrrgradrrrqgradv343.梯度的应用解:例:设有位于坐标原点的点电荷,在空间任何一点处产生的电位为:,,试求电位的梯度。kzjyixrqrqv4),,(zyxMrrvrrqE34gradvE电场中的电场强度等于电位的负梯度。电场强度垂直于等位面,且指向电位减小的方向。3.梯度的应用证:kcjbiakzujyuixugradudczbyaxuczubyuaxu,,例:证明为常失的充要条件是为线性函数:,为常数(习题3第9题)。dczbyaxuudcba,,,gradu充分性必要性kcjbiakzujyuixugradu积分得:dczbyaxu3.梯度的应用证:0,0,0zuyuxu0gradu因,得积分得:例:若在数量场中恒有,证明(习题3第10题)。tconsutan)(Muu0gradutconsutan表明:数量场等值面的梯度为0。3.梯度的应用证:0M0gradu例:若在数量场在处可微,且满足,证明在处有。(习题3第11题))(Muu)()(0MuMu0M因可微,且,则在处取得极大值,有:0M)(Muu)()(0MuMu)(Mu0,0,0zuyuxu0graduHomework5作业5P40习题3:5,6,7,8
本文标题:第6讲数量场的方向导数和梯度2
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