D7_7常系数齐次线性微分方程

常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章二阶常系数齐次线性微分方程:xrye和它的导数只差常数因子,代入①得0e)(2xrqprr02qrpr称②为微分方程①的特征方程,1.当042qp时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为xrxrCCy21ee21(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.特征方程02qrpr2.当042qp时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:[e1xr)(1urup0uq)2(211ururu是特征方程的重根0u取u=x,则得,e12xrxy因此原方程的通解为xrxCCy1e)(210)()2(1211uqrprupru特征方程02qrpr3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee21实根xrxCCy1e)(21)sincos(e21xCxCyx特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar推广:例1.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C例3.xxO解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建00ddvtxt,00xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为由第六节例1(P323)知,位移满足方程:22ddtx02xk特征方程:,022krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC故所求特解:tkkvtkxxsincos00A0xkv0方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)kvC020022020tan,vxkkvxA解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率0dd00vtxt,000xxt下图中假设(仅由系统特性确定)方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼:nk这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:nk临界阻尼:n=k22ddtx02xktxndd2解的特征解的特征解的特征例4.的通解.解:特征方程,052234rrr特征根:i21,04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例5..0)4()5(yy解方程解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxCe5(不难看出,原方程有特解)e,,,,132xxxx02)(22222rr例6..)0(0dd444wxw解方程解:特征方程:即0)2)(2(2222rrrr其根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解:xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC例7..02)4(yyy解方程解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为则方程通解:内容小结),(0为常数qpyqypy特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxrCCy21ee2121rr(2)当时,通解为xrxCCy1e)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(e21xCxCyxi2,1r可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习求方程的通解.答案::0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21作业P3401(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第八节备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr故所求方程为其通解为