易拉罐的最优设计

易拉罐的最优设计1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐（易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1、取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2、设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3、设易拉罐是一旋转体，上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。例如说，半径和高之比，等等。4、利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5、用你们做本题以及以前学习和实践数学模型的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。2评阅要点饮料罐(易拉罐)的最优设计涉及多方面的问题：怎样的制造过程可以降低材料耗损(减少边角料等)、能源、用更少的部件来制作、改换材料以减重量或更为廉价、变更形状更便于制造和灌装、甚至换一种加工次序等等，其目的就是既要满足用户的需求又要降低成本。据命题人的了解（包括询问可口可乐公司有关人员），该公司的易拉罐都是铝制的，罐的形状和尺寸有一个演变过程，现在用的两片罐的中心端面形状大致如下：这种罐的制作过程大致如下：先做成一个直圆柱(正圆柱)的杯子，再利用铝的延性，在加热条件下，把罐的侧边拉到一定的高度，略为收口等，便于和较厚的同质圆片焊接，内外涂层，灌装、测试、打包、外运等。在美国，这种形状易拉罐各部分(以千分之一英寸为单位)的厚度大致如下：底部厚：8—11,侧壁厚：4,颈部厚：6,顶盖厚：9。据说在其他地方生产的易拉罐，各部分的厚度可以略有变化。本题主要测试学生在测量或间接获得数据的基础上，经过观察、分析做出合理的简化假设，形成数学模型，正确、合理并简捷地求解相应的数学问题，合理地验证自己的数学模型（合理地解释所测量的易拉罐的形状和尺寸）。特别是希望学生根据自己的想象力做出有自己特色的建议。更重要的是，这种最优设计的数学建模也许是关键（或重要）的一步，但决不是全部，在有些情况下物理、工程等考虑可能更重要（或不可忽略），希望同学了解真正的最优设计是一个相当复杂的过程，数学不可能单打独斗。1、共15分，考察学生的动手能力，自己测量的10分以上，体积有错应该扣2分），从网上抄的最多12分。能够说明自己是怎么测量的，并列表说明（尽管有的数据可能误差较大），应该说相当好；能够从网上查到比较准确的数据，并说明出处，表明了一种能力，也是相当好的；照抄其他文章就不太好了。2、共15分，要求模型表述清晰，其中假设4分，模型与计算9分，验证2分。无二阶导数大于零的验证不扣分。根据如下的中心端面的形状，可以计算出易拉罐所用材料的总体积(目标函数)。罐内的体积已知(大于355立方厘米)为约束条件之一。还应该有其他的约束条件，例如，顶盖有拉环，从而顶盖的直径也是有限制的，要能够用手握住，因此，罐的直径是有限制的，等等。3、共30分，其中假设（大、小半径）、建模占15分，计算、验证、分析占15分。目标函数考虑材料的体积是最好的，若考虑面的价格也可以。对于中心端面形状为如图所示的情形，如果还考虑材料的体积的话，可以有如下的做法。设饮料罐侧壁材料的厚度为，顶盖材料的厚度为,底部材料的厚度为，饮料罐内的体积为。圆台内部上底的半径为,下底的半径为,高为。圆柱内部的半径为，高为。这里为自变量，为参数。饮料罐所用材料的总体积(目标函数)为：约束条件和2中的类似。22(,,,,,,,)()()()(2)SVrRhHabdVbabrdbRhbrRbRHbabdbVrhRRHHhRr,,,Vdba,,,这部分要求学生能正确、合理和简捷地求解，能够分析所得计算结果。如果还能够从多元函数无约束极值的判定的充分条件，Hesse矩阵的正定性等方面进行分析，然后给出合理的结论和解释，这就相当好了。如果能够从其他角度考虑，而且目标函数、约束条件清楚，能够正确、合理和简捷地求解，给出合理的结论和解释，应该说更好了。4、共15分，其中假设、建模5分，计算、验证、分析占10分，要求说明比2和3好在哪里。要求学生想象力做出自己的最优设计。从材料总体积的角度考虑，可能有同学会研究中心端面形状为或更复杂的形状的易拉罐。也可以从顶盖圆片下料的角度研究，或者两者结合起来研究，甚至从其他角度来考虑问题。5、共10分，短文中若只谈参赛体会最多5分。答题中的难点应该突出以下三个方面：怎样出发作出合理的假设；怎样求解模型中出现的数学问题；怎样的模型是正确、可行的。另外的15分是：摘要占10分（底分5分,中等8分，好10分），摘要的评分与后面的论文中模型的正确性无关，仅看其本身表述的清晰程度。对整篇文章的印象5分。4符号说明符号含义单位易拉罐的表面积cm2所用材料的总体积cm3罐体圆柱体部分圆的半径cm圆柱体的高度cm易拉罐圆柱部分的壁厚mm易拉罐的罐内体积cm3表示圆台面的倾斜角度SVSrbhV5模型的建立与求解5.1问题一5.1.1需要数据的确定经过分析发现，模型中可能用到的数据种类有罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。具体说明如下：(1)罐直径：易拉罐圆柱体部分（罐体最胖部分）横截面圆的直径(2)罐高：从易拉罐的顶盖到底面的高度(3)罐壁厚：圆柱体回转面部分的瓶壁厚度(4)顶盖厚：易拉罐的上顶盖厚度(5)罐内体积：易拉罐内部的体积(6)罐底厚：易拉罐的下底面厚度(7)顶盖直径：圆台的上表面圆的直径即罐顶盖的直径(8)圆台高：从罐的顶盖到圆柱体部分的高度(9)圆柱体高：圆柱体部分的高度5.1.2各数据的测量方法(1)直接测量经过分析可得，罐桶直径、罐高、圆台高、顶盖直径、圆柱直径这几种数据类型属于外部属性，可以直接进行测量。测量时可选用以下两种方法：①用一条非常窄的薄纸条,环绕易拉罐相关部位一圈测得周长,然后再换算求得直径、半径、面积等。②用游标卡尺（50分度）对相关部位进行直接测量，计算出直径和高等。(2)间接测量由现实情况可知，易拉罐的罐壁、顶盖和罐底有一面是在易拉罐的内部，不能直接进行测量，因此就需要对他们进行处理后再进行测量。对于厚度的测量都可用下面第一种方法，体积的测量可用第二种方法。①首先用剪刀和钳子对易拉罐进行刨切，由于易拉罐厚度和顶盖厚度较小，可利用螺旋测微器进行测量。②取一个量筒(500ml)和空的易拉罐，首先将清水倒入易拉罐中直至与罐口相平；然后将易拉罐中的水倒入量筒中进行读数，即得到了易拉罐的体积。5.1.3数据为确保数据的精确性，需要对所有数据进行多次测量求平均值，经多次测量求得所需的数据如下表：数据种类实测数据平均值单位罐高12.0612.0412.0612.0812.0612.06cm罐桶直径6.626.606.586.586.666.61cm罐壁厚0.1120.1060.0990.1010.0950.103mm顶盖厚0.2950.2980.3050.3040.3110.306mm罐底厚0.3030.2890.3050.2940.3100.300mm圆台高1.011.011.000.981.021.01cm顶盖直径6.026.006.025.986.006.01cm圆柱体高11.0411.0211.0611.0811.0611.05cm罐内体积364.9365.2364.5364.0365.6364.8cm3表1易拉罐(可口可乐)各项尺寸列表5.2问题二5.2.1模型分析第一种方案：用手捏一下发现易拉罐非常的薄，可认为最理想的情况即看作易拉罐的壁厚均匀。在这种情况下主要考虑易拉罐的表面积来建立数学模型求解。第二种方案：用手往下按顶盖能够感觉到它的硬度要比其它部位的用料要硬,相比之下,硬度体现在同样用料的厚度上；根据测量的数据可知，顶盖厚度大约是其他部分的用料厚度的3倍(参考)。因此可以假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同。在这种情况下制作易拉罐的用料就要通过各个部位体积来考虑,为求制作需要用料最省，通过建立数学模型求解。5.2.2各方案模型目标与约束条件的确定第一种方案(1)目标：假设易拉罐是一个正圆柱体，易拉罐各处厚度均匀且非常薄(可忽略其厚度)时。就不用具体考虑易拉罐用料的体积，只以易拉罐的表面积最小为目标就可使用料最省。设易拉罐罐高为，罐体圆柱体部分圆的半径为。即2(,)22MinSrhrhrhr(2)主要约束：易拉罐的容积是一个固定的常量。在忽略罐壁厚的情况下我们可以认为易拉罐的体积与它的容积等价。设易拉罐的罐内体积为，即2(,)365VrhrhV第二种方案(1)目标：本方案以易拉罐的用料体积最小为目标，可使制造易拉罐的用料最省。下面是对易拉罐三部分用料体积的确定：①易拉罐侧面所用的用料体积为：②易拉罐顶盖所用的用料体积为：③易拉罐底所用的用料体积为：22223()(1)22(1)(1)rbrhkbrhbrkbhbkb2rkb12rb设顶盖厚度为罐壁厚度的倍k综上可得易拉罐用料的总体积为：因为,为简化模型求解，所以，的项可以忽略。所以：2223(,)2(1)2(1)(1)VSrhrhbrkbrkbhbkbbr2b3b2(,)(,)2(1)VSrhSrhrhbrkb(2)主要约束：同第一种方案的约束条件一样，易拉罐内部的体积V为一常量。在忽略罐壁厚的情况在此处键入公式。下我们可以认为易拉罐的体积与它的容积相等。2(,)365Vrhrh5.2.3模型建立第一种方案第二种方案2(,)22MinSrhrhr2(,)365.00VrhrhSTrh2(,)22(1)VMinSrhrhbrkb2(,)365.00VrhrhSTrh5.2.4模型求解第一种方案(1)极值法模型中共有两个变量和,体积的限制为一等式，即通过等式变换可得:将上面的表达式代入到目标函数中可得：此时目标函数中只含变量，对求导可得：rh02Vhr2022(0,)VSrrr0224Vdsrdrrrr20vrh032023220303003202440,002,2VdsrdrVdsrdrrdsrVdrVrVrSVVhhrrr由可得对求二阶导数可得由可得即时，取极小值，且是唯一极值点。2所以时，取最小值。2由可以确定：(2)结果检验求得的易拉罐的罐高和半径相同，求得的目标是2cm2，罐高约为7.74cm罐的半径约为3.0cm。因此可得易拉罐的直径同罐高之比为1：1关系，由此发现通过模型计算出来的数据同我们实际测量的数据罐直径和罐高之比1：2相差甚远。第二种方案(1)Lagrange乘子法于是将问题化为求三元函数L的无条件极值的问题。20202,)0(,)2(1),)0,)(,)(,)VrhgrhrhVSrhrhbrkbgrhLagrangeLrhSrhgrh将目标中的主要限制条件设为(要找目标函数在条件(下的极点，可以先作函数(2200203003222000323032(1)220(1)2(2)0(2)0(3)2231(1)(1)1)(1)((1)LbkrhrhrLbrrrbrhVrhbrVh