二次函数(初中数学中考题汇总)

（2011•乌兰察布市）24.(本题16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)，把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点。(1）求m的值；(2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；(3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的32?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．24.解：（1）设之比例函数为1ykx，反比例函数为kyx，把A(3,3)代入，得133k，∴11k，∴正比例函数为yx33k，∴9k，∴反比例函数为9yx，∵B(6,m)在反比例函数上，∴9362m（2）设直线BD的解析式为yxb，∵直线BD过3(6)2B，，∴3=62b，∴92b∴直线BD的解析式为92yx，在92yx中，令0x，得92y，∴D(902，)。在92yx中，令0y，得92x，∴C(902，)。设过A、B、D三点的抛物线的解析式为2yaxbxc，得9293333662cabcabc解得：19422abc，，∴抛物线的解析式为219422yxx。（3）假设存在E（xy，）满足条件，199812228OCDS，19273224OACS在219422yxx中，令0y，解得47x，∴E的坐标应满足4747x，0y∵23OECDOACDSS四边形四边形∴2()3OCDOCEOCDOCASSSS∴811928127()822384y解得：12y∴21914222xx即28100xx∴46x∵4747x∴46x∴1(46)2E，（2011•岳阳市）26．(本题满分l0分)九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一应用——探究的过程：(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量，测得一隧道的路面宽为10m．隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图②所示的直角坐标系．请你求出抛物线的解析式．(2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全．问该隧道能否让最宽3m．最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型塑．提出了以下两个问题，请予解答：Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上．顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值。Ⅱ．如图④，过原点作一条yx的直线OM，交抛物线于点M．交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q。问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．21世纪教育网1056.25yxO1056.25yxODCBAQNM1056.25PyxO26、（1）y=－14x2＋52x（2）当x=2或x=8时（3）（Ⅰ）AB=2x-10BC=y=－14x2＋52xl=－12x2＋9x－20=－12（x－9）2＋412（Ⅱ）存在，这样的点有四个∵P点在直线y=x上，设P（x,x），Q（x,－14x2＋52x）（A）当∠P1Q1N=90°时，Q点在OM的上方时，P1Q1=NQ1，P1Q1=－14x2＋52x－x，NQ1=5-xQ点在OM的下方时，P2Q2=NQ2，P2Q2=x－（－14x2＋52x），NQ1=x–5∴14x2－52x＋5=0∴P1（5＋5，5＋5）、P2（5－5，5－5）（B）当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K⊥对称轴当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形Q点在OM的上方时，P3Q3=2Q3K1，P3Q3=－14x2＋52x－x，Q3K1=5-xQ点在OM的下方时，P4Q4=2Q4K2，P4Q4=x－（－14x2＋52x），Q4K2=x–5∴14x2－72x＋10=0∴P3（4，4）、P4（10，10）（2011•抚顺）26.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标(－1,0)，点B在y轴的正半轴上，BC＝OB.(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；(2)动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分．．．．的面积为S，F点的坐标是(x,0)．①当点A1落在(1)中的抛物线上时，求S的值；②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．26.(1)△ABO中∠AOB＝90°tanA＝OBOA＝2，∵点A坐标是(－1,0)，∴OB＝2.∴点B的坐标是(0,2)．∵BC∥AD，BC＝OB，∴点C的坐标是(2,2)．设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋2，∵点A(－1,0)和点C(2,2)在抛物线上，∴0＝a－b＋2，2＝4a＋2b＋2.∴解得a＝－23，b＝43.∴y＝－23x2＋43x＋2.(2)①当点A1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A1与点A关于对称轴对称，由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点，重合部分面积就是梯形ABEF的面积．∴S＝S梯形ABEF＝12(BE＋AF)×BO＝2x＋1.②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积，由题得AF＝x＋1，BE＝x，S＝S梯形ABEF＝12(BE＋AF)×BO＝2x＋1.方法一：当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A1NCEF的面积，设A1B1交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K，△NMA1∽△DMN，MA1NM＝NMMD，∵∠BAO＝∠MA1N，tan∠BAO＝2，∴tan∠MA1N＝2MNA1M.∴MA1＝12MN，MD＝2MN.∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°，∴tan∠CDK＝12.在△DCK中，∠CKD＝90°，CK＝OB＝2，tan∠CDK＝CKDK＝12，∴DK＝4，OD＝6.∵OF＝x，A1F＝x＋1，∴A1D＝OD－OF－A1F＝5－2x，FD＝6－x.∴MN＝23(5－2x)．∴S＝S梯形DCEF－S△A1ND＝8－2x－13(5－2x)2＝－43x2＋143x－13.方法二：当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A1MCEF的面积，设A1B1交CD于点M，作MN⊥B1C交CB1延长线于点N，由题得A1F＝x＋1，B1E＝x，∴CE＝2－x，B1C＝2x－2.∵BC∥AD，∴∠A1B1N＝∠B1A1A，∠ADC＝∠DCB1.∵∠BAO＝∠B1A1A，tan∠BAO＝2，∠ADC＋∠BAO＝90°，∴tan∠A1B1N＝2＝MNB1N，tan∠DCB1＝12＝MNCN.∴B1N＝12MN，NC＝2MN.∵NC－B1N＝CB1＝2x－2，∴MN＝43(x－1)，∴S＝S梯形A1B1EF－S△B1CM＝2x＋1－43(x－1)2＝－43x2＋143x－13.26．（2011·柳州）（本题满分6分）．如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝43x2＋bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；BxyO(第26题图)CA（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，∴A(－1，0)C(0，－4)把A(－1，0)C(0，－4)代入y＝43x2＋bx＋c得∴43－b＋c＝0c＝－4解得b＝－83c＝－4∴y＝43x2－83x－4（2）∵y＝43x2－83x－4＝43(x－1)2－163∴顶点为D（1，－163）设直线DC交x轴于点E由D（1，－163）C(0，－4)易求直线CD的解析式为y＝－43x－4易求E（－3，0），B（3，0）S△EDB＝12×6×163＝16S△ECA＝12×2×4＝4S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12（3）抛物线的对称轴为x＝－1做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3易求AB的解析式为y＝－3x＋3∵D3E是BC的垂直平分线∴D3E∥AB设D3E的解析式为y＝－3x＋b∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－3,∴y＝－3x－3把x＝－1代入得y＝0∴D3(－1，0),过B做BH∥x轴，则BH＝111BxyO(第26题图)CADEBxyO(第26题图)CAPMN在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝11∴D1（－1，11＋3）同理可求其它点的坐标。可求交点坐标D1（－1，11＋3）,D2（－1，22）,D3(－1，0),D4(－1,11－3)D5（－1，－22）（2011•郴州）六、综合题（8分）26．已知：如图9，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0,6)，D(4，6），且AB＝210.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得12PBDABCDSS梯形＝?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.六、26．（1）在RtΔABC中，，又因为点B在x轴的负半轴上，所以B（－2，0）（2）设过A，B，D三点的抛物线的解析式为，将A（0，6），21世纪教育网B（－2，0），D（4，6）三点的坐标代入得61646420cabcabc解得1226abc所以21262yxx（3）设存在这样的点P，其坐标为(,)xy，连结PD，设PD所在直线交x轴于Q点则可求得PD的解析式为，令121204(4,0)yxQxx得所以（Ⅰ）当P点不在抛物线上的BD段时，由12PBDABCDSS梯形得：211211211(6)6(6)(62)362222xxxx，整理得：22200xx解得图9yxCDABO2yaxbxc1622yxxx1212121,121,321,321xxyy(121,321)(121,321)或ABDCOxy图1所以P点的坐标是（Ⅱ）当P点在抛物线上的BD段时，可得：，方程无解所以满足条件的P点的坐标是24．（2011·台州）(14分)已知抛物线y＝a(x－m)2＋n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．(1)如图1，求抛物线y＝(x－2)2＋1的伴随直线的解析式．(2)如图2，若抛物线y＝a(x－m)2＋n(m＞0)的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．(3)如图3，若抛物线y＝a(x－m)2＋n的伴随直线是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴随四边形ABCD是矩形．①用含b的代数式表示m、n的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由．【答案】（1）由已知得B(2，1)，A(0，5)．……………………1分设所求直线的解析式为y＝kx＋b，则1＝2k＋b5＝b…………