最新2017上海初三数学总复习-一线三等角

初三数学“一线三等角”模型的解析（1）两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形。一．何为“一线三等角”？“一线三等角模型”图谱以上有：△ACP∽△BPD（1）点P在线段AB上锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角“一线三等角模型”图谱以上有：△ACP∽△BPD锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角（2）点P在线段AB延长线上二．七种常出现的模型1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；3、矩形；4、正方形；5、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；6、等边三角形的翻折；7、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题一线三等角-等腰三角形例1、如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG＝45°,AC与MG的延长线相交于点F，（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；解析：（1）△AEM∽△BMG（一线三等角型）△FEM∽△FMA（共角共边型）ABCFEMG一线三等角-等腰三角形例1、如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG＝45°,AC与MG的延长线相交于点F，（2）联结结EG，当AE＝3时，求EG的长．解析：（2）AE=3，CE=1由△AEM∽△BMG计算出BG=83则CG=43对Rt△CEG勾股得EG=53若换个角度出发，点M是中点，恰好是“中点型一线三等角”△AEM∽△BMG∽△MEG对可解△AEM余弦定理或化斜为直计算出ME=5△AEM∽△MEG∴𝐴𝐸𝑀𝐸=𝑀𝐸𝐸𝐺∴35=5𝐸𝐺解得：EG=53ABCFEMG一线三等角-等腰梯形例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证：△ABP∽△DPC解析：（1）①等腰梯形同一底上两底角相等+由外角推得等角ABDCP一线三等角-等腰梯形例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．②求AP的长．解析：（1）②△ABP∽△DPC∴𝐴𝑃𝐷𝐶=𝐴𝐵𝑃𝐷∴𝐴𝑃2=25−𝐴𝑃解得：AP=1或AP=4ABDCP一线三等角-等腰梯形例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；解析：（2）①建立y关于𝑥的函数解析式AP=𝑥,DP=5-𝑥，CQ=y,则DQ=2+y易证：△ABP∽△DPQ，∴𝐴𝐵𝑃𝐷=𝐴𝑃𝐷𝑄即25−𝑥=𝑥2+𝑦∴y=-12𝑥2+52𝑥−2定义域：由于点Q在线段DC延长线，故DQ＞2即：y+2＞2∴y=-12𝑥2+52𝑥−2＞0即1＜𝑥＜4ABDEQCP一线三等角-等腰梯形例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么②当CE＝1时，写出AP的长。解析：分类讨论E点位置①当点E在线段BC上时，CE=1过C点作PQ的平行线交于AD于H由△ABP∽△DHC∴𝐴𝐵𝐷𝐻=𝐴𝑃𝐷𝐶∴25−1−𝑥=𝑥2解得x=2②当点E在线段BC延长线上时，CE=1过E点作CD的平行线交于AD的延长线于M由△ABP∽△MPE∴𝐴𝐵𝑃𝑀=𝐴𝑃𝑀𝐸∴25+1−𝑥=𝑥2解得x1=3-5x2=3+5＞5（舍）小结：1、此次课程展示了相似模型“一线三等角”在初中范围内常见的两种考题形式。2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展。通过知识间的串联，找出一些通性通法，提高解题效率。