1.1.2导数的概念

旧知回顾平均变化率的定义我们把式子称为函数f(x)从到的平均变化率.（averagerateofchange）2121fx-fxx-x1x2x平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述具体运动状态.65计算运动员在0≤t≤这段时间的平均速度，思考49下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究讨论：2()4.96.510httt新课导入如何知道运动员在每一时刻的速度呢？在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.汽车在每一刻的速度怎么知道呢？3.1.2导数的概念平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvttt△t0时，在[2+△t,2]这段时间内2222hhtvt24.9Δt+13.1Δt=-Δt=-4.9Δt-13.1当△t=-0.01时，=-13.051；v当△t=-0.001时，=-13.0951；v当△t=-0.0001时，=-13.09951；v当△t=-0.00001时，=-13.099951；v当△t=-0.000001时，=-13.0999951；v…...△t0时，在[2,2+△t]这段时间内2h2+Δt-h2v=2+Δt-24.9Δt+13.1Δt=-Δt=-4.9Δt-13.1当△t=0.01时，=-13.149；v当△t=0.001时，=-13.1049；v当△t=0.0001时，=-13.10049；v当△t=0.00001时，=-13.100049；v当△t=0.000001时，=-13.1000049；v…...当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|Δt|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v13.14.9hvtt探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0000(Δ)()ylimlimxxfxxfxxx称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作)(0xf或,即0|xxy0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx一概念的两个名称.瞬时变化率与导数是同.2.其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作)(0xf或,即0|xxy0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.oC解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是(2)f(6).f和根据导数的定义,所以,.3)3(limlim)2(00xxffxx同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CCxfxf)2()2(37)(42xxxxx=ΔyΔx练习（第6页）Δyf(3+△x)-f(3)==△x-1Δx△x解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(3)和f′(5).根据导数的定义：x→0Δy所以，f(3)=lim=-1Δx同理：f(5)=3′′说明在第3h附近，原油的温度大约以1℃/h的速率下降，原油温度以大约以3℃/h的速率上升.例题2求函数y=x2在x=1处的导数.222解：(1)Δy=(1+Δx)-1=2Δx+(Δx),2Δy2Δx+(Δx)==2+Δx,ΔxΔxx=1Δx→0Δx→0Δy∴lim=lim(2+Δx)=2,∴y|=2.Δx00解:∵Δy=x+Δx-x,0000000000x+Δx-x(x+Δx-x)(x+Δx+x)Δy∴==ΔxΔxΔx(x+Δx+x)1=.x+Δx+xΔx→0Δx→0000Δy11∴lim=lim=,Δxx+Δx+x2x0x=x00111由y'|=,得=,∴x=1.222x例3已知函数在处的附近有定义，且，求的值.y=x0x=x0x=x1y'|=20x求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:（1）求函数的增量00Δy=f(x+Δx)-f(x)..00f(x+Δx)-f(x)Δy=ΔxΔx（2）求平均变化率0Δx0Δyf(x)=lim.Δx（3）求得导数归纳课堂小结1.瞬时速度的定义物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.导数的定义一般地，函数在处的瞬时变化率是yfx0xx00Δx0Δx0fx+Δx-fxΔylim=limΔxΔx我们称它为函数在处的导数（derivative）.yfx0xx3.求导数的步骤（1）求y；xy（2）求；（3）取极限得f(x)=lim.xyx01、求函数y=x+1/x在x=2处的导数.11-Δx解：Δy=(2+Δx)+-(2+)=Δx+2+Δx22(2+Δx)-ΔxΔx+Δy12(2+Δx)==1-,ΔxΔx2(2+Δx)x=2Δx→0Δx→0Δy1133∴lim=lim[1-]=1-=,∴y|=.Δx2(2+Δx)444作业