07-08学年数值分析试卷

07-08学年数值分析试卷一、填空（本大题共8小题，每空2分，共20分）1、设x1=857.900和x2=0.08421都是经过四舍五入得到的近似值，则它们分别具有位和位有效数字。642、求解常微分方程初值问题的显式欧拉格式具有阶方法。13、设f(x)=x4，写出以－1，0，2，4为节点的三次插值多项式xxxxxxxx825)0)(4)(2)(1(2344、设f(x)=2x3+9，则差商f(1,2,3,4)=25、对于给定的a0，应用牛顿法导出求而不使用开方运算与a1除法运算的迭代公式),2,1,0(23231kxxaxkkk6、写出求积分的辛普生公式它具有次代数精度。badxxf)()()2(4)(6bfbafafabS37、设，则280012251A1A148、写出高斯消去法的回代公式)1,,1,(1)()(nnixabxnijjiijiii或者)()(/nnnnnkabx)1,,2,1(/)()(1)()(nnkaxabxkkknkjjkkjkkk二、（本大题共12分）用改进欧拉方法求解下列常微分方程的初值问题：0)0()40(2112yxyxy要求（1）写出计算公式：（2）画出算法框图。解：1）计算公式为：预报：),(1nnnnyxhfyy校正：),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy取步长h＝0.2或表示为平均公式：)(21),(),(11cpnpnncnnnpyyyyxhfyyyxhfyy三、（本大题共12分）利用变步长的梯形公式计算（误差不超过）20sinxdxx610要求：1）写出计算公式；2）画出算法框图。解：1）计算公式10212)(221nkknnxfhTT四、（本大题12分）已知，要求：43,21,41310xxx1）以这3个点作为求积节点，推导计算积分10)(dxxf的内插求积公式；2）指明构造的求积公式所具有的代数精度，并说明原因；3）用所求公式计算。102dxx解：1）由3个求积节点所构造出的内插求积公式为)43()21()41()(21010fAfAfAdxxf)43()21()41()(21010fAfAfAdxxf其中)2,1,0()(10kdxxlAkk32)4341)(2141()43)(21(100dxxxA即：31)4321)(4121()43)(41(101dxxxA21)2243)(4143()21)(41(102dxxxA于是：)43(2)21()41(231)(10fffdxxf2）由于此公式为三节点的内插求积公式，所以代数精度至少为2.再令3)(xxf代入上述公式有333103)43(2)21()41(23141dxx令4)(xxf代入上述公式有19237)43(2)21()41(23151444104dxx3）31)43(2)41(23122102dxx五、讨论题（本大题共10分）为用迭代法求方程在区间内的一个实根，将方程改写成下列等式形式，并建立相应的迭代公式：0123xx6.1,3.1211)1xx，迭代公式为),1,0(1121kxxkk11)22xx，迭代公式为),1,0(111kxxkk试分析每种迭代公式的收敛性。解：1）对于迭代公式,其迭代函数为2111kkxx211)(xx31)(xx故当时，有1)3.1(2)(3x6.1,3.1x此外成立6.13.111)(6.1113.122x因此，迭代公式对任意初值2111kkxx6.1,3.10x均收敛。2)对于迭代公式其迭代函数为：),1,0(111kxxkk11)(xx3)1(21)(xx故当时，有6.1,3.1x111kkxx1)16.1(21)(3x因此，迭代公式在区间内发散。6.1,3.1六、证明题（本大题共6分）列出函数关于互异节点的拉格朗日插值公式，并证明下列等式成立：),,1,0()(nkxxfk),,1,0(nixi10,0ninijjjijx证明：1）由拉格朗日插值公式ninijjkijijiniinxxxxxxfxlxp0,00)()()()(2）依拉格朗日插值余项定理，当时幂函数nkkxxf)(),,1,0(nixi关于n+1个节点的插值多项式就是其本身，故上述),2,1,0()()(0,0kxxxxxxxpkninijjkijijn特别地，当k=0时，ninijjjijxxxx0,01)(令时，ixi),,2,1,0(1)(0,0nijijxninijj七、（本大题共12分）用Gauss-Seidel迭代法解下列方程组：23823177221138751043214321321431xxxxxxxxxxxxxx要求：1）建立收敛的迭代格式；2）画出算法框图。解：1）原线性方程组可化为下列严格对角占优方程组：17722238231138751043214321321431xxxxxxxxxxxxxx于是有下列收敛的迭代格式：)1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1727271717814181823838181121101107kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx八、证明题（本大题共6分）基于方程求根的迭代原理证明：251111证明：首先建立迭代公式，令111kx则有迭代公式：)2,1,0(0101kxxxkk相应迭代函数是xx1)(xx121)(显然当时，且成立2,0x2,0)(x121)(x因此，上述迭代过程收敛于方程的正根。012xx故有251x