第十三讲空间图形与证明

空间图形与证明博睿智数学常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）空间图形与证明博睿智数学OCBA如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。典例12空间图形与证明博睿智数学【1】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．试一试135P空间图形与证明博睿智数学【2】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.试一试130o空间图形与证明博睿智数学常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。二、遇到有直径时空间图形与证明博睿智数学典例2如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．求证：（1）BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．MNOCAB△ABC∽△NBM6空间图形与证明博睿智数学【3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=OCBA试一试260o空间图形与证明博睿智数学常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。三、遇到90°的圆周角时空间图形与证明博睿智数学OCBA如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是典例35空间图形与证明博睿智数学（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。四、遇到有切线时空间图形与证明博睿智数学如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．典例4空间图形与证明博睿智数学切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径。所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.五、遇到证明某一直线是圆的切线时空间图形与证明博睿智数学需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.1．无点作垂线已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.求证：DC是⊙O的切线.典例5利用角平分线性质证OE=OA空间图形与证明博睿智数学当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.2．有点连圆心典例6△OCB≌△OCD（SAS）空间图形与证明博睿智数学试一试31、如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。ABCDELO作垂直证半径空间图形与证明博睿智数学试一试32、如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E，与OB交于点F，连接CE，CF．（1）求证：AB与⊙O相切．（2）若∠AOB=∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．连结证垂直M菱形空间图形与证明博睿智数学常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。六、遇到两相交切线时（切线长）空间图形与证明博睿智数学如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________典例7ABCDEPO6空间图形与证明博睿智数学连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。七、遇到三角形的内切圆时空间图形与证明博睿智数学如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=典例8112.5o空间图形与证明博睿智数学连结外心和各顶点。作用：外心到三角形各顶点的距离相等。八、遇到三角形的外接圆时如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．典例9I（2，2），O（3,4）22(32)(42)5空间图形与证明博睿智数学1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.一、与平行四边形有关的辅助线作法证四边形AODE为平行四边形空间图形与证明博睿智数学2．利用两组对边平行构造平行四边形例2如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.空间图形与证明博睿智数学3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：BF=AC.1234M空间图形与证明博睿智数学和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线和作高，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.二、和菱形有关的辅助线的作法对角线互相垂直且平分空间图形与证明博睿智数学例5如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证：EF+BF的最小值等于DE长.二、和菱形有关的辅助线的作法空间图形与证明博睿智数学和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.三、与矩形有辅助线作法例6如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.2222PAPCPBPD32空间图形与证明博睿智数学正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=∠AEB21四、与正方形有关辅助线的作法AHBO为正方形∠AEB=30O∠BCF=15O空间图形与证明博睿智数学和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.五、与梯形有关的辅助线的作法空间图形与证明博睿智数学例8已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.五、与梯形有关的辅助线的作法（一）1122DFAEBCBD30OCBD∠BDC=∠COD=75O作高空间图形与证明博睿智数学例9如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.五、与梯形有关的辅助线的作法（二）5空间图形与证明博睿智数学例10如图，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.六、和中位线有关辅助线的作法典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.ACBD1.连结AC构造全等三角形2.连结BD构造两个等腰三角形一、连结（一）典例2:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,求证:点M是CD的中点.ACBD连结AC、AD构造全等三角形EM一、连结（二）典例3:如图,AB=AC,BD=CD,M、N分别是BD、CD的中点，求证：∠AMB＝∠ANCACBD连结AD构造全等三角形NM一、连结（三）典例4:如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.ACBD连结BD构造全等三角形O一、连结（四）典例1:如图,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.ACD过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等BE二、角平分线上点向两边作垂线段（一）典例2:如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.ACD过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等BE思考:(1)若AB=15cm,则△BED的周长是多少?(2)能否用截长补短法，在AB上截取AE=AC？二、角平分线上点向两边作垂线段（二）典例3:如图,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.ACD过点E作EF⊥BC构造了:全等的直角三角形且距离相等BF思考:1.有没有其他辅助线的做法2.你从本题中还能得到哪些结论?E二、角平分线上点向两边作垂线段（三）典例4:如图,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=180o,求证:PD=PE.ACD过点P作PF⊥OA,PG⊥OB构造了:全等的直角三角形且距离相等BF思考:你从本题中还能得到哪些结论?EPGO二、角平分线上点向两边作垂线段（四）如图：PD、PE分别垂直平分线段AB、BC，则PA____PCABCPDE三、垂直平分线上点向两端连线段已知，如图AD是△ABC的中线，四、中线延长一倍ABCDE)(21ACABAD求证：延长AD到点E，使DE=AE，连结CE.思考：若AB=3,AC=5，求AD的取值范围？A1BCD234如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=ABEF在AB上取点F使得AF=AD,连接EF五、截长补短六、旋转法如图所示，已知点E、F分别在正方形的边BC与CD上，并且AF平分∠EAD，求证：BEDFAEABCDEFG1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠CAB,DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?七、“周长问题”的转化BACDEBE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB（一）借助“角平分线性质”2.如图,△ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,△ABM周长为13cm，求△ABC的周长.（二）借助“垂直平分线性质”BACMAB+BC+AC=AB+BM+MC+6N=AB+BM+AM+6=13+6七、“周长问题”的转化3.如图,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC.若BC=6cm,△AMN周长为13cm，求△ABC的周长.（三）借助“等腰三角形性质”BACPAB+AC+BC=AM+BM+AN+NC+6N=AM+MP+AN+NP+6=13+6M=AM+AN+MN+6七、“周长问题”的转化通过这次课的学习，你又增加了哪些收获？能与大家一起分享吗？见作业本