角平分线的性质与判定

已知:∠AOB求作：∠AOB的平分线（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。（2）分别以M、N为圆心，大于1／2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。（3）作射线OC。射线OC即为所求。A0BMNC做法：AＢＭＮＣ．O仔细观察步骤ABOAOEBCPD将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.折一折角平分线上的点到角的两边的距离相等．P49（从理论说明）议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？同学甲、乙谁画的是角平线上的点到两边的距离?角平分线的性质定理：定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。应用定理的书写格式：OP是的平分线AOBOAPDOBPE\PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCBBDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCB√不必再证全等∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。ADCBBDCD（×）P512T证明：∵DE⊥AB,DF⊥ACAD是角平分线∴DE=DF(角平分线的性质）∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BED=∠DFC=90°在RT△BDE和RT△CDF中BD=CD(已知）DE=DF（已证）∴RT△BDE≌RT△CDF（HL)∴BE=CF(对应边相等）•反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．这样，我们又可以得到一个结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。P513T证明：∵CD⊥AB,BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中∠BDO=∠CEO(已证)∠BOD=∠COE(对顶角相等）OB=OC(已知）∴△BDO≌△CEO（AAS)∴OD=OE(对应边相等）又∵CD⊥AB,BE⊥AC∴AO平分∠DAE（角平分线的判定)即∠1=∠2，1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC知识应用B思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上利用结论，解决问题练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。练习2：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.ABCPMNABCPMN例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为D、E、FFDEDE∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？小结