2.3三角形的内切圆

提出问题：从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？作圆:使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC求作：和△ABC的各边都相切的圆ABCOMNDO就是所求的圆。作法：1、作∠B,∠C的平分线BM和CN，交点为O2、过点O作ODBC。垂足为D。3、以O为圆心，OD为半径作圆O2、和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。概念；1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。OBCA想一想：根据作法,和三角形各边都相切的圆能作出几个？1、什么是三角形的外接圆与内切圆？2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？画圆的关键：1、确定圆心2、确定半径三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径是交点到顶点的距离。三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是交点到一边的距离。三角形的外接圆与内切圆①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。例3如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DBABCO12345D练习分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．2、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（）（A）（B）（C）（D）332232225325ABCDEFO3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（）（A）70°（B）110°（C）120°（D）130°例:已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=ECABCIDE证明：连结BI∵I是△ABC的内心∴∠3=∠4∵∠1=∠2，∠2=∠5∴∠1=∠5∴∠1+∠3=∠4+∠5∴∠BIE=∠IBE∴EB=EI又∵EB=EC∴EB=EI=EC12345达标检测一、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。（）2、直角三角形的外心是斜边的中点。（）二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径————，内切圆半径————。2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————。三、选择题：下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆×√6.5cm2cm2:1C4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）（A）1∶∶（B）1∶2∶（C）1∶∶2（D）1∶2∶323335、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四边形巩固练习：ABCI1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心则，∠BIC＝————度。ABCDEF2、如图，△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC于D、E、F，则∠FDE＝————度。112.567.5ABCOI三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R=—c2r=————a+b-c2abc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法例：已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=ECABCIDE证明：连结BI∵I是△ABC的内心∴∠3=∠4∵∠1=∠2，∠2=∠5∴∠1=∠5∴∠1+∠3=∠4+∠5∴∠BIE=∠IBE∴EB=EI又∵EB=EC∴EB=EI=EC12345课堂练习：1、判断（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（）（2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（）（3）若O为△ABC的内心，则OA＝OB＝OC。（）因此三角形的内心是，它到距离相等√××三个内角的角平分线的交点三边的距离相等提示：关键是利用内心的性质如果∠A＝120°，∠BOC=？如果∠A=n°，∠BOC=?因此：在△ABC中，∠A＝n°，点O是△ABC的内心，∠BOC＝90°＋n°21例1、如图，在△ABC中，∠A=55°，点O是内心，求∠BOC的度数。OBCA例1、如图，在△ABC中，∠A=55°，点O是外心，求∠BOC的度数。OBCA如果∠A＝120°呢？OCAB例2、如图：点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E.求证：BE＝IEDEIBCA提示：欲证BE＝IE需证∠BIE＝∠IBE把∠BIE转化为两圆周角之和12345若已知圆的三条切线呢？ABCDEF设△ABC的BC=a，CA=b，AB=c，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.Ixyzy+z=ax+z=bx+y=c分析：设AF=x，BD=y，CE=zD想一想圆的外切四边形具有什么性质？圆的外切四边形的两组对边的和相等。例：等腰梯形各边都与⊙O相切，⊙O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_____。若已知圆的四条切线呢？868如图：四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P。根据已知条件可以得出什么结论？圆的外切四边形的两组对边的和相等。aabbccdd例：已知在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。xxyyzz已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。比一比看谁做得快（2）如图，ΔABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=cm,AC=AB=（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则ΔPDE的周长为（）A16cmD8cmC12cmB14cmAPDCBE116cm9cmABDACFE274.ABCabcrr=a+b-c2例：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm则其内切圆的半径为______。圆的外切等腰梯形有什么特点？圆的外切平行四边形有什么特点？腰长和中位线长相等。圆的外切平行四边形是菱形课堂练习：练习册692（1）（2）学生归纳小结：1、三角形内切圆的作法2、三角形的内切圆，内心，圆外切三角形的概念。3、利用三角形的内心的性质证解有关问题。课后作业：书102－10210、11、12B组题3练习2已知：△ABC是⊙O外切三形，切点为D，E，F。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCDEFxxyyOzzx+y=13y+z=14x+z=9ABDLMNPO圆的外切四边形的两组对边和相等。已知：四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和圆O分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边的关系。CBL=BM=wDN=DP=xAP=AL=yCN=CM=z典型例题：求证：圆的外切四边形的两组对边的和相等．已知：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别是点P、L、M、N。OABCDLMNP求证：AB+CD=AD+BC证明：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别是点P、L、M、N。∴AL=AP，BL=BM，CN=CM，DN=DP∴AL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DP即AB+CD=AD+BCABCD2．某梯形中位线为18cm,且梯形有内切圆，求梯形周长。