测量误差的基本知识

第五章测量误差的基本知识了解测量误差产生的原因、误差的分类与处理原则、偶然误差的特性；掌握测量精度的评定观测值中误差、算术平均值中误差、相对中误差的计算、算术平均值的计算误差传播率及其应用。第五章测量误差的基本知识§5.1测量误差概述§5.2衡量精度的指标§5.3误差传播定律§5.4算术平均值及其中误差测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形α+β+γ≠180°闭合水准∑h≠0一、测量误差的来源等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1.测量仪器2.观测者的技术水平3.外界环境观测条件粗差：因读错、记错、测错造成的错误。二、测量误差的分类在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。1、系统误差—在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。例：钢尺—尺长、温度、倾斜改正水准仪—i角经纬仪—c角、i角注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。消除和削弱的方法:（1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前不能预知其出现的大小和符号。偶然误差只能通过改善观测条件对其加以控制。2、偶然误差偶然误差的特性180lxl真误差观测值与理论值之差dNni-3–2–10+1+2+3偶然误差分布的直方图落入区间的误差个数误差的总个数误差区间大小y)(fy0iddfi)(根据这些描述性特性，当n→∞，可以得出理论误差分布曲线22221)(ef该分布概率密度函数中的σ是偶然误差的标准差，是衡量精度的重要指标！拐点③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；（对称性）④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：0limnn①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界性）②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性/区间性）（抵偿性）复习思考题：1偶然误差与系统误差有什么区别?偶然误差有哪些特性?根据下列的误差内容，试判断其属于何种误差?误差的内容误差的性质1.钢尺尺长不准，对量得距离的影响2.量距时，尺子不在一条直线上，对量得距离的影响3.水准仪水准管轴不平行于视准轴的误差4.读数时的误差5.瞄准误差6.竖盘指标差7.竖盘指标差的变化误差系统误差系统误差系统误差偶然误差偶然误差偶然误差系统误差误差处理的原则：1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。一般要通过一定的数学方法（测量平差）来处理。返回精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值误差分布的密集或离散程度。评定精度的标准中误差极限误差相对误差一、中误差1、中误差的定义：在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则观测值的中误差m的定义为：nmxliin,...2232221式中式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高5.210)4(2)1()2(34)3(12022222222221m2.310)1()3(017)1(0)6(2)1(22222222222m21mm中误差所代表的是某一组观测值的精度。2、用真误差计算中误差nnnm][222213、用改正数计算中误差改正数：最或是值与观测值之差，用v表示，即：v=x-l式中：v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是值改正数求中误差的白塞尔公式：1][nvvmnlnlllnx][21设对某个量进行n次观测，则它的最或是值为定义由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、极限误差（容许误差）测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m或Δ容=3m。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18˝的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。相对误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1三、相对误差一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。[例]已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：20000120001.010000110001.0222111DmKDmK返回概念误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数一、倍数的函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。kxzxzxzkmmmkm222即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。二、和或差的函数设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。yxz222yxzmmm即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即nxxxz21可以得出函数Z的中误差平方为式中mxi是观测值xi的中误差。n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。222221xnxxzmmmm当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。nmmz当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。kssmsm三、线性函数设线性函数为：nnxkxkxkz2211式中为独立的直接观测值，为常数，相应的观测值的中误差为。nxxx,,21nkkk,,21nxxx,,21nmmm,,212222222121nnzmkmkmkm对某△ABC，不等精度观测了两个内角A、B，其值分别为：∠A=64°21′06″±4″∠B=70°35′40″±3″求∠C及其中误差。解：∠C=180°－∠A－∠B=45°03′14″由于∠C=180°－∠A－∠B，mC2=mA2+mB2=32+42=25得，mC=±5″所以，∠C=45°03′14″±5″设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得),,,,(321nxxxxfzixnmmmm,,,,321nxnxxZxfxfxf)()()(2121四、一般函数式中：是函数F对的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf),,2,1(ni22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfmix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm误差传播定律的一般形式[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D解：1.函数式2.全微分3.求中误差dDDddD)sin()(coscosDD22222]03)15sin50[(]05.0)15[(cos])sin[(])[(cosmDmmDD)(048.0mmD1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。),,(21nxxxfZnxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121)(ixf求观测值函数中误差的步骤：五、运用误差传播定律的步骤3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),,(21nxxxfZkxzxzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm返回设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、m2…mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）L为：nlnlllxn21一、求最或是值L设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2，…，n）将上式相加得或故nxlllnn)(2121nxl][][xnln推导过程：xlii由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即（算术平均值）说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。0limnnLnlxn,因为式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有nlnlnlnnlL1112122222221221111mnmnmnmnmnL二、算术平均值中误差mLnmmL由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的倍。n1故三、精度评定第一公式第二公式（白塞尔公式）条件：观测值真值x已知条件：观测值真值x未知，算术平均值L已知nm1nVVm其中—观测值改正数，iViilLV例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：1.1)16(634)1(nnVVnmmL返回