高教版 袁卫 统计学 教学ppt(第三章 概率与概率分布)

学习目标了解随机事件的概念了解概率运算的法则理解随机变量及其概率分布的概念了解二项分布、泊松分布掌握正态分布的主要特征和应用理解大数定律和中心极限定理的重要意义第三章概率与概率分布3.1随机事件及其概率一、随机试验与随机事件二、随机事件的概率三、概率的运算法则一、随机试验与随机事件必然现象与随机现象必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）——统计规律性十五的夜晚能看见月亮？十五的月亮比初十圆！随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。随机事件（事件）随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母A、B、……、来表示基本事件（样本点）不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（Ω）基本事件的全体（全集）随机事件（续）复合事件由某些基本事件组合而成的事件样本空间中的子集随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间才是必然事件不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（Φ）二、随机事件的概率概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P()=1不可能事件发生的可能性是零，P()=0随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。1、概率的古典定义古典概型（等可能概型）——具有以下两特点每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）每个试验结果出现的可能性相同——它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象概率的古典定义概率的古典定义前提：古典概型定义（公式）计算古典概率常用到排列组合知识nmAAP＝数样本空间中基本事件总中包含的基本事件数事件)(例1：设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？解：2、概率的统计定义当试验次数n很大时，事件A发生频率m/n稳定地在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率nmpAP)(当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）3、主观概率有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似主观概率——依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小例如某经理认为新产品畅销的可能性是80％人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据4.概率的基本性质非负性：规范性：必然事件的概率为1，即：P()=1不可能事件的概率为0，即：P()=0。可加性：若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有：P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。(补充）关于概率的公理化定义概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明主观概率的确定又具有主观随意性苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义——通过规定应具备的基本性质来定义概率公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。三、概率的运算法则1.加法公式用于求P(A∪B)——“A发生或B发生”的概率互斥事件（互不相容事件）不可能同时发生的事件没有公共样本点P(A∪B)=P(A)+P(B)互斥事件的加法公式ΩABP(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)互补事件互补事件不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件互补事件的概率之和等于1)(1)(1)()(APAPAPAP或AA例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6。相容事件的加法公式相容事件两个事件有可能同时发生没有公共样本点相容事件的加法公式（广义加法公式）ABΩP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)ABΩAB事件的积（交）AB事件的和（并）2.乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。——也即“A发生且B发生”的概率P(AB)先关注事件是否相互独立（1）条件概率条件概率—在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)条件概率的一般公式：)()()|(BPABPBAP其中P(B)0例2：某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：①抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；②抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A＝“甲厂产品”，B＝“一级品”，则：P(A)＝0.4，P(B)＝0.64，P(AB)＝0.28①所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率P(A|B)＝0.28/0.64②所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率P(B|A)＝0.28/0.4（2）事件的独立性两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)＝P(A)，或P(B|A)＝P(B)独立事件的乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有：P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)（3）全概率公式完备事件组事件A1、A2、…、An互不相容，A∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)0（i=1、2、...、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、A2、…、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：niiiABPAPBP1)|()()(＝例3：假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？解：设A＝知道正确答案，B＝选择正确。“选择正确”包括：“知道正确答案而选择正确”（即AB）“不知道正确答案但选择正确”（即）P(B)＝（2/3）×1＋（1/3）×（1/4）＝3/4BA)|()()|()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP＝＝全概率公式——贝叶斯公式全概率公式的直观意义：每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai导致B发生的概率为，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai引发的概率的总和相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率——贝叶斯公式（逆概率公式）（后验概率公式）贝叶斯公式若A1、A2、…、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：niiiiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP1)|()()|()()()()|(＝＝计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率3.2随机变量及其概率分布一、随机变量的概念二、随机变量的概率分布三、随机变量的数字特征四、常见的离散型概率分布五、常见的连续型概率分布一、随机变量的概念随机变量——表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举连续型随机变量——取值不能一一列举1.离散型随机变量的概率分布X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2）1iip二、随机变量的概率分布离散型概率分布的表示：概率函数：P(X=xi)=pi分布列：分布图X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn0.60.30012xP(x)图3-5例3-9的概率分布2.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数——概率密度函数f(x)和分布函数F(x)图形——概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示概率密度f(x)的性质（1）f(x)≥0。概率密度是非负函数。（2）1d)(xxf所有区域上取值的概率总和为1。•随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：dxxfbXaPba)()(f(x)xab3.分布函数适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)＝P{X≤x}xxiip–连续型随机变量的分布函数dxxfxFx)()(＝离散型随机变量的分布函数F(x)＝f(x)xx0F(x0)分布函数与概率密度三、随机变量的数字特征1.随机变量的数学期望又称均值描述一个随机变量所有可能取值的平均值。离散型随机变量X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X的数学期望：iiipxXE＝＝)(dxxxfxE)()(＝数学期望的主要数学性质1.若k是一常数，则E(kX)＝kE(X)2.对于任意两个随机变量X、Y，有E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)3.若两个随机变量X、Y相互独立，则E(XY)＝E(X)E(Y)2.随机变量的方差和标准差方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或σ2离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：dxxfxxD)(][)(22＝＝iiipxXD22)()(－＝＝方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则D(k)＝0；D(kX)＝k2D(X)若两个随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)例4：试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：2.13.026.011.00)(＝＝＝＝iiipxXE36.03.0)2.12(6.0)2.11(1.0)2.10()()(2222＝＝－＝iiipxXDσ＝0.6xi012pi0.10.60.33.两个随机变量的协方差和相关系数协方差的定义)]}()][({[),(YEYXEXEYXCov)()()(YEXEXYE•如果X,Y独立（不相关），则Cov(X,Y)＝0即E(XY)＝E(X)E(Y)•协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性•协方差受两个变量本身量纲的影响。相关系数相关系数ρ具有如下的性质：相关系数ρ是一个无量纲的值0≤|ρ|≤0当ρ=0，两个变量不相关（不存在线性相关）当|ρ|=1，两个变量完全线性相关YXXYYXCov),(四、常见离散型随机变量的概率分布1.二项分布——n重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”每次试验中“成功”的概率都是pn次试验相互独立。在n重贝努里试验中，“成功”