《线性代数》常见证明题型及常用思路

《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1．关于1,,m线性相关性的证明中常用的结论（1）设110mm，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,m必全为零，则1,,m线性无关；如果能得到不全为零的1,,m使得等式成立，则1,,m线性相关。（2）1,,m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。（3）如果1,,nmF，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。（4）如果我们有两个线性无关组，11,,,mW12,,,tW且12,WW是同一个线性空间的两个子空间，要证11,,,,,mt线性无关。这种情况下，有些时候我们设111111110,,mmttmmtt。根据题设条件往往能得到0，进而由11,,,mW12,,tW的线性无关得到系数全为零。题型2.关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设1{,,}nB是单位正交基，11(,,),(,,)BnBnuxxvyy。则11(,)nnuvxyxy5题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩（3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式()()();()min{(),()};()()();max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()TTTTmnrABrArBrABrArBrArArAAArArBrABrrArBBArrArBBArArBrrArBrCCBABrArBn（5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：()()()mnrArBnrAB。证：()()()0nnnEEnrABrrABAABEBrrArBA上面第二个等号是用A左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号是用-B又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。（6）利用齐次线性方程组解的结构（dim()()mnNAnrA），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。（7）利用向量组的秩与维数主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩=行秩（ii）dimkerdimImdimker()r的定义域的维数（8）利用行列式秩（9）利用相抵标准形题型4.关于可逆矩阵常用结论（1）结论：A可逆AXb有唯一解||0A。（2）结论：,()nABMF可逆AB可逆。（3）结论：A可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。（4）结论：A可逆当且仅当0不是它的特征值。题型5.关于矩阵对角化的常用结论（1）结论：A相似于1..BCstACBC。（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。（3）特征值与特征向量的定义（4）结论：是A的特征值||0EA。（5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。（6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项的系数就是对角线上元素之和。（7）结论：()[],()()AXXhxFxhAXhX。（8）结论：课本P242定理7.8。（9）结论：课本P242推论。（10）结论：课本P243定理7.10。（11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。题型6.关于二次型的常用结论：（1）定义：二次型的矩阵。（2）定义：相合关系。（3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。（4）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。