《线性代数》第四章线性方程组

1第四章线性方程组一.高斯消元法二.齐次线性方程组三.非齐次线性方程组2一.高斯消元法设一般线性方程组为11112211211222221122(1)nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb则称矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa为方程组(1)的系数矩阵。3称矩阵11121121222212(,)nnmmmnmaaabaaabBAbaaaa为方程组(1)的增广矩阵。称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组。当0(1,2,,)ibim时,齐次线性方程组11112212112222112200(2)0nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax4定义：线性方程组的初等变换（1）用一非零的数乘某一方程（2）把一个方程的倍数加到另一个方程（3）互换两个方程的位置可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换(,)BAb初等行变换5111211,1112212,122,1100000000000000000000rrnrrnrrrrrnrrssssstsssstssstt化为行阶梯形矩阵6则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。1,1112,122,11100010001(3)00000000000000000rnrnrrrnrrccdccdccdd化为行最简形矩阵7由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况1)若，则方程组无解。10rd2)若10,rd则方程组有解，当rnrn有唯一解。有无穷多解。3)特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。当rnrn有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。8举例说明消元法具体步骤：例1：书P108例4.1.1例2：解线性方程组1231231232314254240xxxxxxxxx解：100021001312213100120011最后一行有301,x可知方程组无解。2131(,)42542140Ab9例3：解线性方程组123423412423423410331730xxxxxxxxxxxxx解：),(bA123410111000240004800000002100011101432112341011101303107310101202101010001200000010001010100012000000对应的方程组为124341020xxxxx1243412xxxxx即所以一般解为123412xxkxkxk（k为任意常数）11二.齐次线性方程组110(2)mnnmAx1.齐次线性方程组（2）有解的条件定理1：齐次线性方程组有非零解110mnnmAxrAn定理2：齐次线性方程组只有零解110mnnmAxrAn推论：齐次线性方程组只有零解110nnnnAxrAn即0,A即系数矩阵A可逆。1.有解的条件2.解的性质3.基础解系4.解的结构12二.解的性质（可推广至有限多个解）解向量：每一组解都构成一个向量性质：若是（2）的解，12,则仍然是（2）的解。1122xkk解空间:0AX的所有解向量的集合，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。133.基础解系设12,,,nr是0AX的解，满足121,,,nr（）线性无关；20AX（）的任一解都可以由12,,,nr线性表示。则称12,,,nr是0AX的一个基础解系。定理：设A是mn矩阵，如果(),rArn则齐次线性方程组0AX的基础解系存在，且每个基础解系中含有nr个解向量。14证明分三步:1.以某种方法找个解。nr2.证明这nr个解线性无关。3.证明任一解都可由这nr个解线性表示。注：0AX的基础解系实际上就是解空间的一个基。(1)(2)证明过程提供了一种求解空间基（基础解系）的方法。(3)基（基础解系）不是唯一的。(4)当()rAn时，解空间是{0}.当()rArn时，求得基础解系是12,,,,nr则1122nrnrxkkk是0AX的解，称为通解。4.解的结构0AX的通解是1122nrnrxkkk15例4:求下列齐次方程组的通解。12341234123240(1)24803620xxxxxxxxxxx解：124124813620A1120512413001030011000000000初等行变换16行最简形矩阵对应的方程组为法1：先求通解，再求基础解系1243412053010xxxxx即12434125310xxxxx24,xx是自由未知量。令2142,xcxc则112213242125310xccxcxcxc即12123412510031001xxccxx12,cc为任意常数。17法2：先求基础解系，再求通解。12434125310xxxxx由令2410xx得12100令2401xx得21503101则通解为1122xkk12(,kk为任意常数）1812312312312323036100(2)2570240xxxxxxxxxxxx解：1233610257124A123011001000初等行变换3,rAn所以只有零解。00010001002100010001000119三.非齐次性线性方程组11(1)mnnmAxb1.有解的条件定理3：非齐次线性方程组11mnnmAxb有解,rArAb并且，当,rArAbn时，有唯一解；当,rArAbn时，有无穷多解。2.解的性质性质：12,是的解，则12是0Ax11mnnmAxb对应的齐次线性方程组的解。20分析:3.解的结构若11(1)mnnmAxb有解，则其通解为*x其中*是（1）的一个特解，是（1）对应的齐次线性方程组的通解。0Ax1.证明*x是解；2.任一解都可以写成*x的形式。例5:书P117例121例6:求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx解：1511112133(,)3811119377Ab1511107244000000000022313131077724401777000000000013423413313777424777xxxxxx令3142,xcxc则112212314213313777424777xccxccxcxc12(,cc为任意常数）法1：23法2：令,043xx得0074713又原方程组对应的齐次方程组的通解是432431747271373xxxxxx令10,0143xx得基础解系1074713,01727321所以原方程组的通解是2211kk12(,kk为任意常数）24例7：k取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解.1231232353218522kxxxxxkxkxx解：115,321850122kAbkk321851150122kkk法1：2523218542001251852133330122kkkkkkk223218501224151400133333kkkkkk时，有唯一解且即时3,,31,01313412nbArArkkkk.,,,3)3(,32,,12无解时有无穷多解时bArArkbArArk26法2：利用Cramer法则1132(1)(3)012kDkkk2210131235111),(bA000022103101有无穷多解，3231223xxxx121023321cxxx即当时，1k当时，即且时，方程组有唯一解。0D1k3k27时，当3k221033235113),(bA400022105113所以方程组无解。),()(bArAr