简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换知识归纳1．半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosαtanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα3．三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．一、函数与方程的思想[例1]已知sinx＋siny＝13，求sinx－cos2y的最大、最小值．分析：消去sinx得u＝13－siny－cos2y可转化为二次函数最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围．解析：由sinx＝13－siny及－1≤sinx≤1得－23≤siny≤1.而sinx－cos2y＝sin2y－siny－23＝(siny－12)2－1112所以当siny＝12时，最小值为－1112，当siny＝－23时，最大值为49.点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝13－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.二、角的构造技巧与公式的灵活运用[例2]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．解析：解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋32cos10°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin210°＋cos210°)＝34.解法3：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x－y＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x＝32，x＝34.解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．例1求值：(1)1sin10°－3cos10°；(2)sin10°·sin50°·sin70°.例1求值：(1)1sin10°－3cos10°；(2)sin10°·sin50°·sin70°.练习练习探究3分式的化简关键是将分子、分母、分解因式，然后约分，运用二倍角的变形公式．可将一些多项式化为完全平方式，便于分解因式．同学们应熟练掌握下列公式．1±sin2α＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.在一些根式的化简中也经常用到上述公式．思考题3化简：1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα(πα2π)．探究4三角函数式的化简，经常需要降次，下列公式经常用于降次cos2x－sin2x＝cos2x，sin2x＝1－cos2x2，cos2x＝1＋cos2x2，sinxcosx＝12sin2x，sin2x＋cos2x＝1.例4(1)函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期为________．(2)函数f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的值域为________．【解析】(1)f(x)＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x2)2＋1＋cos2x2＝14cos22x＋34＝14·1＋cos4x2＋34＝18cos4x＋78，∴f(x)的最小正周期为T＝2π4＝π2.(2)f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π6)，∴f(x)的值域为[－2,2]．【答案】(1)π2(2)[－2,2]思考题4(2013·昆明诊断)已知f(x)＝sin4x＋cos4x＋2sin3xcosx－sinxcosx－34，求f(x)的最小正周期．【解析】∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＋sin2xsin2x－12sin2x－34＝1－12sin22x－12sin2x(1－1sin2x)－34＝12·－1＋cos4x2－14sin4x＋14＝14cos4x－14sin4x＝24cos(4x＋π4)，∴T＝2π4＝π2.【答案】T＝π2例5已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.【思路】2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.【证明】∵sin(2α＋β)＝2sinβ，∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]．∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα.∴3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα.∴tan(α＋β)＝3tanα.【答案】略思考题5若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.【证明】由已知得sin2αcos2α＝2·sin2βcos2β＋1.即sin2α1－sin2α＝2·sin2β1－sin2β＋1，即sin2α1－sin2α＝sin2β＋11－sin2β.即sin2α－sin2αsin2β＝sin2β＋1－sin2α－sin2αsin2β.∴sin2β＝2sin2α－1，即等式成立．【答案】略求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)；三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法).1．(2011·辽宁理)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.79答案A解析sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos2α－sin2β＝________.答案13解析方法一(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝13，∴cos2αcos2β－sin2αsin2β＝13.∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝13.∴cos2α－sin2β＝13.5．(2013·衡水调研卷)sin(x－34π)cos(x－π4)＝－14，则cos4x＝________.答案12解析∵sin(x－34π)＝－cos(π2＋x－34π)＝－cos(x－π4)，∴cos2(x－π4)＝14，∴1＋cos2x－π22＝14.∴cos(2x－π2)＝－12，即sin2x＝－12.∴cos4x＝1－2sin22x＝12.6．(2012·江苏)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．答案17250解析因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725.所以sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝22×1725＝17250.7．已知sin(π6＋α)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于________．答案－79解析∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴sin(π6＋α)＝cos(π3－α)＝13，∴cos(2π3－2α)＝cos2(π3－α)＝2cos2(π3－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.[例1]3－sin70°2－cos210°＝()A.12B.22C．2D.32分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简．倍角公式解析：原式＝3－cos20°2－cos210°＝3－2cos210°－12－cos210°＝2.答案：C若tan(α＋3π4)＝2011，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：∵tan(α＋3π4)＝2011，∴tanα－11＋tanα＝2011.∵1cos2α＋tan2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＋2tanα1－tan2α＝tan2α＋11－tan2α＋2tanα1－tan2α＝tanα＋121－tan2α.由于tan(α＋3π4)＝2011，可知tanα＋1≠0.∴1cos2α＋tan2α＝tanα＋121－tan2α＝tanα＋121－tanα1＋tanα＝1＋tanα1－tanα＝－12011.答案：－12011[例3]设5πθ6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2半角公式解析：∵5πθ6π，∴5π4θ43π2，∴sinθ40，∵a＝cosθ2＝1－2sin2θ4，∴sinθ4＝－1－a2.答案：D[例4]已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．分析：由α＝(α－β)＋β结合已知条件可求得tanα，再由二倍角公式可得tan2α，进一步可求得tan(2α－β)，关键是讨论2α－β的范围，由tanβ的值可限定β的取值范围，由tanα，tan2α及tan(α－β)的值可限定α的取值范围，由此可得2α－β的取值范围．三角函数的给值求值(角)问题解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.点评：三角函数的给值求值(角)问题，常常要讨论角的范围，要注意发掘已知条件中限制角的范围的条件，求值时通常要在某一个单调区间内进行．(理)(2011·浙江宁波质检)已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解析：(1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45.(2)因为0απ2βπ，所以0β－απ.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.[例5]12sin170°－2sin70°的值等于()A．1B．－1C.12D．－12化简、求值与证明解析：12sin170°－2sin70°＝12sin10°－2cos20°＝1－4sin10°cos20°2sin10°＝1－4sin10°cos30°－10°2sin10°＝1－4sin10°32cos10°＋12sin10°2sin10°＝1－3sin20°－2sin210°2sin10°＝cos20°－3sin20°2sin10°＝sin30°－20°sin10°＝1.故选A.答案：A求值：2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.分析：tan20°＝si