d-ch5C

BUAA2020/1/311作业：5-15、5-19、5-22§5-4、哈密顿方程简介),,2,1(,),,2,1(,kjqHpkjpHqjjjj第二类Lagrange方程习题课BUAA2020/1/312§5-4、哈密顿方程一、主动力为有势力的系统的拉格朗日方程设：L＝T-V（拉格朗日函数）),,2,1(,0ddkjqLqLtjj拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组xABgmgm0sin21cos21252mLmLxm0sin2131cos212mgLmLxmL非线性常微分方程组通常用数值方法求解将二阶微分方程组降阶成一阶微分方程组BUAA2020/1/313§5-4、哈密顿方程二、哈密顿方程简介),,2,1(,),,2,1(,kjqHpkjpHqjjjj其中：),,,,,,(),,2,1(,111tqqppHLqpHkjqTpkkkjjjjj哈密顿方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组，对于定常约束的保守系统，哈密顿函数H就是系统的动能与势能的和，即：VTH哈密顿方程为数值计算提供了很好的微分-代数结构，在此基础上建立的辛算法可保持长期数值计算的稳定性。BUAA2020/1/314§5-4、哈密顿方程mgzpppmHzyx][21222mpzmpympxzyx,,例：求自由质点在重力作用下的哈密顿函数和哈密顿方程xyzgm1、系统的广义坐标：zyx,,2、系统的动能和势能)(21222zyxmTzmpympxmpzyx系统的哈密顿函数H=T+V)3,2,1(,jqTpjj),,2,1(,),,2,1(,kjqHpkjpHqjjjjmgpppzyx,0,0mgzmymxm,0,0VmgzBUAA2020/1/315§5-4、哈密顿方程例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。杆与滑块用刚度系数为k1的扭簧连接．Θ＝π时扭簧无变形．求系统哈密顿方程（用矩阵形式给出）。AB＝2Lxg1mg2mAB0lk],[TxqxLmLmLmmmxT22342221coscos],[21222222132cos)(21LmLxmxmmT222211111(1cos)()222VmgLkxkk],[Txq22342221coscosLmLmLmmmMqMqT21TM是正定对称矩阵，是广义坐标的函数BUAA2020/1/316§5-4、哈密顿方程qMpqMqT21TqpT)2,1(,jqTpjjpMp1T21VTHqfA21pfpMqVT111系统的哈密顿函数H=T+V),,2,1(,),,2,1(,kjqHpkjpHqjjjj222211111(1cos)()222mgLkxkkqMqMqMAkqqq21用矩阵形式描述方程，便于并行计算，可提高计算速度。BUAA2020/1/317§5-4、哈密顿方程xg1mg2mAB0lk0102030405060708090100-0.500.511.522.5s/t050100150200250300-10123456m/)(txrad/)(t－－摆杆的运动－－滑块的运动现象：不同的初始条件，系统的动力学行为不同。算例的数值仿真结果BUAA2020/1/318§5-4、哈密顿方程00.10.13.20.4m/xrad/不稳定区域BUAA2020/1/319§5-4、哈密顿方程问题：研究保守系统动力学方程长期数值计算的稳定性有什么意义？研究太阳系中行星的轨道动力学问题属于保守系统的动力学问题BUAA2020/1/3110地球太平吗？地球并不太平，天文学家们经过观测发现，在火星的外侧和木星的内侧有一个由数目众多的小行星构成的小行星带。它们一般都是按照正常轨道运行，但是总会有小行星进入近地轨道，给地球带来威胁，1989年曾有一颗小行星与地球擦肩而过，引起人们一阵紧张。BUAA2020/1/3111地球安全吗？当时国外科学家曾预测：2014年或2017年，地球有可能遭到小行星的撞击。BUAA2020/1/3112彗星撞击木星的“预测”1994年7月16日至22日，一颗命名为苏梅克·列维9号的彗星断裂成21个碎块（其中最大的一块宽约4公里），以60km/s速度连珠炮一般向木星撞去。“伽利略”号木星探测器BUAA2020/1/3113木星简介木星是太阳系9大行星中位居中间且又是最大的一个星球。它的半径为71300公里，比地球大11倍；体积是地球的1316倍，质量是地球的318倍，相当于其他8大行星总质量的2.5倍，公转周期约29.5年，自转周期是10小时14分。BUAA2020/1/3114太阳系—哈密顿系统在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统，其动力学方程可表示成：),,2,1(,),,2,1(,kjqHpkjpHqjjjj问题：如何精确地计算行星的运动轨迹，准确地预测行星位置。解决问题的方法：提高计算方法精度和速度、通过数值仿真预测行星的运动轨迹和位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。k=3n,n为行星的个数(=9大行星+近百个小行星)BUAA2020/1/3115哈密顿系统的辛算法冯康(1920.9～1993.8)数学与物理学家、计算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理系。1951～1953年赴前苏联进修。曾任中国数学会理事，计算数学分会副理事长，中国计算机学会副主任等职。1980年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部院士)。在拓扑代数、广义函数和计算数学等领域取得多方面首创性成就，并对我国计算机事业的创建和发展做出了重要贡献。20世纪80年代，提出了哈密顿系统的辛算法。该算法可保持长期数值计算的稳定性。BUAA2020/1/3116例题的数值仿真对角隐式辛RK算法显式RK算法CPU-time:142sCPU-time:7737s(变步长)xg1mg2mAB0lk1994年用当时的PIII计算机（主频266M）计算的结果BUAA2020/1/3117预测结果20世纪90年代末，中国科学院计算数学研究所，秦梦兆院士领导的课题组，用Hamilton系统的辛算法，预测小行星撞击地球的可能性是：2014年或2017年不会发生现在预测2036年，可能有小行星撞击地球，但那时候人类的科技手段一定能够阻止灾难的发生。BUAA2020/1/3118习题课第二类Lagrange方程BUAA2020/1/3119第二类拉格朗日方程的总结对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：其中：VTLT：为系统的动能，V：为系统的势能'ddjjjQqLqLt),,1(kj'jQ：为对应于广义坐标的非有势力的广义力jq当系统为保守系统时，有：1：若系统存在循环坐标，则：qconst.pqTqL2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：const.02VTTBUAA2020/1/3120习题课例：系统如图所示，已知：为弹簧原长。求滑块的拉格朗日方程首次积分。0,const.,,lkm解：系统（滑块）的广义坐标为q0lqkm2a21mvT),(qqLVTL拉格朗日函数中不显含时间tconst.02VTT则Lagrange方程有广义能量积分221kqV)(21222qqm)(212r2evvmCkqqmqm222221)(2121-T0为牵连惯性力的势能BUAA2020/1/3121习题课例：系统如图所示，求系统动力学方程；维持AB匀角速转动所需的控制力偶M。已知：为弹簧原长。0,,,lJkmz0lxkmzJABMg)(21212222xxmJTz解：系统的广义坐标为,xMQQx'',0'ddxQxLxLt02kxmxxm'ddQLLtMxmxmxJz2)(2当时xmxM2221kxV问题：该题还可以用什么方法求解？BUAA2020/1/3122习题课例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。初始时，杆水平，系统静止。求系统在图示位置时，杆的角速度、角加速度以及A点的速度和加速度。AB=LxABgmgmAvcCAv222221212121ABCCAAAJmvJmvT解：系统的主动力均为有势力cos216145222LxmmLxm)cos1(5.0LmgV),,(xLLCmLxmxTcos2125cos216145222LxmmLxmELmg)cos1(5.0????xxBUAA2020/1/3123习题课CmLxmxTcos2125cos216145222LxmmLxmELmg)cos1(5.00,0.5CEmgLcos2cos2016122Lg当：,9000,0x)1(cos51Lxsin2sincos101cos20161222Lg上式对时间求导得：x）式求代入（1sin51cos512LLxx（1）式对时间求导：BUAA2020/1/3124习题课例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。图示瞬时系统初速度为零。求该瞬时地面的约束力。AB=L，RxABgmgm解：系统的主动力均为有势力0sin21cos21252mLmLxm0sin2131cos212mgLmLxmL045gxgL173,172150450222221212121ABCCAAAJmvJmvTcos216145222LxmmLxm)cos1(5.0LmgV),,(xLLBUAA2020/1/3125习题课求地面的法向力:研究整体gFFaaCAmmmNABA2求摩擦力:研究圆盘mgFmayNCA245sin:0tFRJAAxRAxABgmgm045FNFgxgL173,17215ntCACAAaaaaCtCAAaaaCtCAaAagFFaaaAmmmNCAAABA2)(t0ABmgFLmyN245sin2:0FNFBUAA2020/1/3126习题课例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上（无相对滑动），另一端悬挂在A点。求系统的运动微分方程。222121CCJmvTgmrcxA'y'xrvevrevvvCxvrxvCyCx''rx关键问题：求系统的动能和势能)sincos(rxmgVPCPPCvvv),,,(xxLVTLBUAA2020/1/3127习题课例：系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球A（视为质点）连接，求系统的运动微分方程。已知：m,r，Jo问题：•