系统的结构图如图3-1所示

第三章例3-1系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数)12.0/(10)(ssG。今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。解首先求出系统的传递函数φ（s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为)110/2.0(10)(ss即HHKsKsGKsGKsRsC1012.010)(1)()()(00)()11012.0(101100ssKKKHH比较系数得1010110101100HHKKK解之得9.0HK、100K解毕。例3-10某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：tettc109.0)9.0()(（t≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s。解因为22111)(sssssR)10()1(10109.09.01)]([)(22sssssstcLsC故系统传递函数为11.01)()()(ssRsCs解毕。例3-3设控制系统如图3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。解由图得闭环传递函数为1)()(sbKTKs系统是一阶的。动态性能指标为)(3)(2.2)(69.0bKTtbKTtbKTtsrd因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。解首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为22223)(nnnsss然后由响应的%pM、pt及相应公式，即可换算出、n。%33334)()()(%cctcMpp1.0pt（s）1TsKbs4300.1t图3-34二阶控制系统的单位阶跃响应h(t)由公式得%33%21/eMp1.012npt换算求解得：33.0、2.33n解毕。例3-13设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于%15，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。解由图示得闭环特征方程为0)1(112KsKKst即21nK，nnttK212由已知条件8.0115.0%21/2tnppteMtt解得1588.4,517.0snt于是05.211K178.0211KKnttstnttd297.02.06.012R(s)C(s)图3-35)1(1ssK1+Ktssttnttnr538.01arccos122stnts476.15.3解毕。例3-14设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的ξ1值，但保持增益K及自然频率ωn不变。解由图得闭环传递函数)(2)(2222sHKssKsnnnn在题意要求下，应取sKsHt)(此时，闭环特征方程为：0)2(22nnntsKKs令：122ntKK，解出，ntKK/)(21故反馈通道传递函数为：nKssH)(2)(1解毕。例3-15系统特征方程为020510203023456sssss试判断系统的稳定性。解特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。例3-16已知系统特征方程式为R(s)C(s)图3-36例3-14控制系统结构图H(s)2222nnnssK0516188234ssss试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解劳斯表为4s11853s81602s1681611885801581s5.131658161600s55.1301655.13由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例3-17已知系统特征方程为053222345sssss试判断系统稳定性。解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为5s1234s1253s022s2251s2254420s5由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数ε来代替；第四行第一列系数为（2ε+2/ε，当ε趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε2）/（2ε+2），当ε趋于零时为2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。解毕。例3-18已知系统特征方程为0161620128223456ssssss试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为6s1820165s212164s212163s00由于3s行中各项系数全为零，于是可利用4s行中的系数构成辅助多项式，即16122)(24sssP求辅助多项式对s的导数，得ssssdP248)(3原劳斯行列表中s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为6s18205s212164s212163s8242s6161s2.670s16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令01612224ss得到2js和2js解毕。例3-19单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1()(2csbsassKsG试求：（1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为)(1tr，)(1trt和)(12trt时系统的稳态误差。解根据误差系数公式，有位置误差系数为)1)(1(lim)(lim200csbsassKsGKssp速度误差系数为KcsbsassKsssGKssv)1)(1(lim)(lim200加速度误差系数为0)1)(1(lim)(lim22020csbsassKssGsKssa对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为)(1tr，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为011rKrepss参考输入为)(1trt，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为KrKrevss参考输入为)(12trt，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为022rKreass解毕。例3-20单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1(10)(21sTsTssG输入信号为r（t）=A+ωt，A为常量，ω=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为221021)(trtrrtr系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：avpssKrKrKre2101对于本例，系统的稳态误差为vpssKKAe1本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以pK10)1)(1(10lim)(lim2100sTsTssssGKssv系统的稳态误差为05.0105.0101011AKKAevpss解毕。例3-21控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at(a为任意常数)。证明：通过适当地调节Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。解系统的闭环传递函数为R(s)C(s)图3-37例3-21控制系统的结构图Kis+1)1(TssKKTsssKKsRsCi)1()1()()(即)()1()(2sRKsTssKKsCi因此)()()(22sRKsTssKKsTssCsRi当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为KKKaKsTsKKTsaKsTsKKTsasaKsTssKKsTsseiisisisss)1()]1([lim)1(limlim20202220要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足01iKK所以KKi/1解毕。例3-22设单位负反馈系统开环传递函数为1)(TsKKsGgp。如果要求系统的位置稳态误差ess=0，单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%，试问Kp、Kg、T，各参数之间应保持什么关系？解开环传递函数)2()1(/)1()(2nngpgpssTssTKKTssKKsG显然TKKgpn2Tn12解得:24/1TKKgp由于要求%3.4%100%21/eMp故应有ξ≥0.707。于是，各参数之间应有如下关系5.0TKKgp本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。例3-23设复合控制系统如图3-38所示。其中1221KK，sT25.02，132KK试求)(1)2/1()(2ttttr时，系统的稳态误差。解闭环传递函数24)5.0(41)(221222113sssKKssTKKsKKs等效单位反馈开环传递函数2)12(2)(1)()(sssssG表明系统为II型系统，且2KKa当)(1)2/1()(2ttttr时，稳态误差为5.0/1assKe解毕。例3-24已知单位反馈系统的开环传递函数)1(/)(TssKsG。试选择参数K及T的值以满足下列指标：)1(22sTsKsK3K1C(s)R(s)图3-38复合控制系统（1）当r(t)=t时，系统的稳态误差ess≤0.02；（2）当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%≤30%，ts≤0.3s(△=5%)解02.01Kess开环增益应取K≥50。现取K=60。因)2()/1(/)(2nnssTssTKsG故有nT2/1，TKn/2于是Kn2取2.0%pM%，计算得456.0%)(ln%)(ln222ppMM72.54n此时3.014.0/5.3nst(S)满足指标要求。最后得所选参数为：K=60T=0.02(s)解毕。例3-25一复合控制系统如图3-39所示。图中：sTbsassGsTsKsGKsGr22122111)()1()()(K1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)=t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数a和b。解系统闭环传递函数为2112121211)(11)()(GGGGGGGGGGGsRsCrrR(s)E(s)C(s)Gr(s)图3-39复合控制G2(s)G1(s)故)(1)()(2112sRGGGGGsCr误差为)(11)()()(212sRGGGGsCsRsEr代入3/1)(ssR及1G、2G、rG,得2122122132112122)1()(