全等三角形之截长补短法

例题1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°，∴∠B=∠E．∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2在△ABD和△AED中，∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．证法二：如答图所示，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．在△ACD和△AED中，AC=AE，∠1=∠2，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90，CD=ED，又∵AC=BC，∴∠B=45°．∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，∴CD=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．例题2图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD∴AC=BE在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC）点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余关系可证∠DAC=∠ECB，可证△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此时，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得DE=AD-BE．解答：证明：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE；（2）DE=BE-AD．仿照（1）可证△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是20cm．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长．解答：解：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20cm．点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），两式联立可得2∠D=∠A．解答：解：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠BOC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$×（180°-x°）=90°-$\frac{1}{2}$∠A故∠BOC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线∠A为x°∴∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+180°）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线∴∠1=∠2，∠5=$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3----①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠A-----②，把①代入②得2∠D=∠A．点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有4处．考点：三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系．专题：应用题．分析：依题意可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部，其圆心就是可供选择的地址．解答：解：可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部．故填4．点评：本题涉及圆的相关知识，难度中等．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．专题：证明题．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AB•PE，AB•PD=AB•CF+AB•PE，即可求证．解答：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．证明：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+PF．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状．考点：等腰三角形的判定；等边三角形的性质．分析：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的中线，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状．解答：证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∵AD=CD∴∠DBC=∠ABC=30°∵CE=CD∴∠CDE=∠E∵∠ACB=∠CDE+∠E∴∠E=30°∴∠DBE=∠E∴BD=DE∴△BDE是等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E=30°是正确解答本题的关键．（2007•吉林）某家电商场经销A，B，C三种品牌的彩电，五月份共获利48000元．已知A种品牌彩电每台可获利100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每台可获利360元．请你根据相关信息，补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图．考点：扇形统计图；条形统计图．专题：图表型．分析：根据获利总数与扇形图，可计算出B型彩电的获利，进而求出B型彩电的数目；接着可求出C型彩电的获利和台数；利用A、C型的获利和获利总数分别求出它们所获利润的百分数，进而补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图即可．解答：解：根据题意可得：五月份共获利48000元，B种品牌彩电获利占30%，即获利48000×30%=14400元，故B种品牌彩电的台数为14400÷144=100台，则C种品牌彩的台数为（48000-120×100-14400）÷360=60台；据此可补全条形图．（4分）五月份共卖出（120+100+60）=280台，其中A种品牌彩电120台，占获利的25%，B种品牌彩100台占获利的30%，C种品牌彩电60台，占获利的45%，据此可补全扇形图．（6分）说明：条形图中每画对1个条形图得（2分）．扇形图中每填对1个扇形得（1分）．扇形图中若标成表示A，C计算的百分数正确，填图不正确，扣（1）．如另画扇形图正确也得分．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，能直接反映部分占总体的百分比大小．如图所示，已知EA⊥AB于点A，CD⊥DF于点D，AB∥CD，请判断EA与DF的位置关系，并说明理由．考点：平行线的判定；垂线；平行线的性质．专题：探究型．分析：首先由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，得到∠BAD=∠ADC，再根据垂直的定义得到∠EAB=∠CDF=90°，则∠EAB+∠BAD=∠CDF+∠ADC，即∠EAD=∠ADF，满足关于EA∥DF的条件：内错角相等，两直线平行．解答：解：EA∥DF．理由如下：∵EA⊥AB于点A，CD⊥DF于点D（已知），∴∠EAB=90°，∠CDF=90°（垂直定义）．∵AB∥CD（已知），∴∠BAD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），∴∠EAB+∠BAD=∠CDF+∠ADC，即∠EAD=∠ADF，∴EA∥DF（内错角相等，两直线平行）．点评：本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及平行线的判定定理．（2002•河南）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2=54度．考点：平行线的性质；角平分线的定义．专题：计算题．分析：两直线平行，同旁内角互补，可求出∠FEB，再根据角平分线的性质，可得到∠BEG，然后用两直线平行，内错角相等求出∠2．解答：解：∵AB∥CD，∴∠B