冲激不变变换法原理与设计

冲激不变变换法原理与设计方法---数字低通滤波器设计Group4谢愚2020/1/311IIR数字滤波器理想模拟低通H(s)数字低通H(z)2p频域非因果稳定系统，物理不可实现设计（数学逼近）设计（数学逼近）巴特沃兹滤波器契比雪夫滤波器1pc0.5sd2单调性1psd2s1psd2sⅠ型Ⅱ型纹波特性离散线性时间系统模拟频率Ω数字频率ω方法冲击不变变换：巴特沃兹、契比雪夫变换双线性变换：巴特沃兹、契比雪夫频率变换低通频率变换高通带通带阻我们的目标2020/1/313设计低通数字滤波器利用模拟滤波器的设计理论来设计IIR数字滤波器就是首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将模拟滤波器转换成数字滤波器。2020/1/3142020/1/315本节内容•冲激不变变换原理•巴特沃兹/切比雪夫低通数字滤波器设计•设计过程中要注意的问题•设计实例2020/1/316原理：冲激响应不变法遵循的准则是：使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样，即)()()(nThthnhanTta实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器，就是要建立模拟系统函数与数字系统函数之间的关系。)(sHa)(zH其中，T为取样周期。若满足要求的模拟滤波器的系统函数已知，它通常是有理函数形式，并且分母的阶次高于分子的阶次，仅含单极点，则可以表示成部分分式形式：)(sHaNkkkassAsH1)(NktskatueAthk1)()(拉氏反变换NknTskanTueAnThnhk1)()()(NkTskzeAzHk111)(z变换于是完成了数字滤波器设计。（书P522）nTt具体的说，从s平面到z平面的映射不是简单的代数映射，而是s平面上每一条宽为的横带重复地映射成整个z平面。T/2NkkkassAsH1)(NkTskzeAzHk111)(2020/1/3110冲激响应不变法的频谱混叠失真示意图混叠问题：由数字滤波器频率响应和模拟滤波器频率响应间的关系知：周期延拓那么数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波器的频率响应。,1)(TjHTeHajTjHa,0)(如果模拟滤波器的频率响应带宽被限制在折叠频率内，即由于一般实际模拟滤波器都不是带限的，所以混叠是必然的。即产生了失真。不适合设计高通和带阻滤波器。这是冲激响应不变法的最大优点！这是冲激响应不变法的最大缺点！)Im(zj)Re(zj0TT3T3T01S平面Z平面1模拟系统因果稳定，其系统函数的所有极点位于s平面的左半平面，这些极点全部映射到z平面单位圆内，因此，数字滤波器也因果稳定。例4.1已知一模拟滤波器的传递函数为使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。3111342)(2sssssHa1311111)(zezezHTT2115133.02399.010400.0)(zzzzH解：将展开成部分分式得)(sHa342)(2sssHa于是极点，直接使用式11s32sNkTskzeAzHk111)(设T＝0.1667s，则得因此，数字滤波器的频率响应为25133.02399.010400.0)(jjjjeeeeH(b)所示的是相应的数字滤波器的幅度响应。图中可以看出，DF的幅度响应在高频段有较大的失真，而在低频段很接近模拟滤波器的幅度响应。4)3(2)(2jjHa图中(a)是模拟滤波器的频率响应4.4.3数字巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化的。NcajH22/11为角频率，在处幅度响应的平方为0.5，N为滤波器的阶数。当时幅度响应为1。c0模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为上图可以看出，随着N的增大，幅度响应曲线在截止频率附近变得越来越陡峭，即在通带内有更大部分的幅度接近于1，在阻带内以更快的速度下降至零。NcjsaaaaajssHsHsHsHjH2211)()()()(12,,1,0,22NkesNkNjck个极点等间隔分布在半径为的圆周上。是关于虚轴对称的，虚轴上没有极点。当为奇数时，实轴上有两个极点。当为偶数时，实轴上无极点。各极点间的角度距为。N2cNNN/模拟巴特沃斯滤波器极点的分布特点：由此可得极点因此，可将极点重新分配上式中是s平面左半平面的极点，是右半平面的极点。NrrNkkaassBssAsHsH11)()(ksrs因为巴特沃斯滤波器有2N个极点，且对称于虚轴，所以可将左平面的极点分配给，以便得到一个稳定的系统。把右半平面的极点分给，可以作不再考虑。经过推导，可以得到巴特沃斯滤波器的设计方法。)(sHa)(sHa1)根据实际需要规定滤波器在数字截止频率和处的衰减；pT2)由数字截止频率和处的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数N和频率；pTc设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：3)求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成传递函数。左半平面极点：传递函数：)(sHa12,,1,0,22NkesNkNjck2/1)(NkkkNcasssssH2/11)(NkkkpNcasssssssHN为偶数N为奇数4)使用冲激响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数。)(sHa)(zH4.4.4数字切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的幅度平方函数为式中，称为纹波参数，它与通带内幅度响应的纹波有关；为有效通带截止频率，N是滤波器的阶数。)/(11)(222cNaVjHc切比雪夫滤波器在通带内的幅度响应是等波纹的，而在阻带内是单调下降的；或者在通带内是单调下降的，而在阻带内是等波纹的。c切比雪夫滤波器是由、和N共3个参数确定。可以看出，切比雪夫滤波器的幅度响应在之间起伏变换，而在阻带内是单调下降的；当N为奇数时，滤波器在处的幅度响应为1。当N为偶数时，滤波器在处的幅度响应为。00211211~1参量、和N的确定：c（1）确定由允许的通带波纹确定。如果在处允许的通带衰减为，可以这样确定cdB)1lg(1011lg10)(222cNVdB不同的所对应的值如下：2110)110(因此（2）的确定是切比雪夫有效通带截止频率，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，常常是给定的。cccTdB)/(11lg1022cTNV)/(/)1(1211cTchAchN1010A（3）滤波器阶数N的确定切比雪夫滤波器的阶数N是由阻带允许的衰减确定的。设在阻带截止频率s处的允许衰减为，即由此得到计算滤波器阶数N的公式数字切比雪夫滤波器的设计步骤（1）根据数字滤波器的指标确定参数、和N。（2）计算常量、和，并求出极点。（3）由s平面左半平面的极点构成传递函数。（4）利用冲激响应不变法或双线性变换法将转换成。cabks)(sHa)(zH)(sHa2020/1/3127设计实例12020/1/3128设计实例12020/1/3129设计实例12020/1/3130设计实例22020/1/3131设计实例22020/1/3132设计实例22020/1/3133设计实例22020/1/3134Butter12.m总结•核心内容：数字低通滤波器的设计•方法：冲激不变原理•展开：1.Butterworth数字低通滤波器设计2.Chebyshev-I数字低通滤波器设计2020/1/3135谢谢！2020/1/3136